des Sciences de Saint- Pétersbourg. 
Nous trouvons ainsi l'expression (A, + B, A’) que 
nous avons déjà considérée, car le produit AA’ étant 
= 1 Mod. 4, la différence 4 — À est un multiple de 
quatre. Or il a été établi que cette forme donne d’a- 
bord la série entière et sans répétition des réduites 
non ambigues, puis les formes ambigues de l'espèce 
(A, 0, 4), où l’on a: A < À. C'est donc la totalité 
des diverses formes, moins celles qui sont représen- 
tées par (4, B, À), en prenant: 
BE u ae 
Le nombre de ces dernières est'pour une valeur 
donnée de N, le nombre des solutions de l'équation 
— D? = AN, 
avec la condition que B soit positif. On doit donc 
comme tout-à-l'heure poser en désignant par à et à 
deux diviseurs conjugués de 4N 
A—Brz8,. AB 
mais prendre maintenant 9 > 5, de sorte que le 
nombre cherché est !o(N), lorsque N n'est par un 
carré. E ce dernier cas on obtient évidemment: 
mn! ST 471, ou bien: EL De ce que nous ve- 
yc d'établir résulte qu' án désignant par F(N) le 
nombre des classes de formes quadratiques de déter- 
minant — N, on obtient: 
= MU) — e (D) d! 
en convenant, lorsque N est un carré, de remplacer 
F(N) par F(N) — 1. Or on a trouvé: 
S= > (Ma; 
nous ayons par conséquent: ` 
= AS F(N)at 
comme il s'agissait de l'établir. 
2,99. = 4(S=+ 28, 
IV. Le troisième théorème de M. Kronecker, ex- 
primé par l'égalité: 
8 F (En + JAWS D 
se conclut du développement: 
o ? Eat e T) E 
= b sin 2nx 
KP n(*)n, H um er NU i 
— sin2r 1—4* 
où il faut prendre: 
et de celui-ci 
spen en 
MOS 
z Nair iq Ve, q 0-47] sin 2næ 
dans lequel m parcourt la série des nombres entiers. 
En opérant comme précédemment nous trouverons 
d’abord: 
$, = 8(S-- 28,), 
où l'on a fait, en supposant a = 1, 3, 5,... 
s= > elige. +01, 
at 
S,= Kä 7 
a 
em Ce 97 E TE q7 (0 — M]. 
La première suite pouvant s'écrire: 
S = N giua - a”) 
— 
a = 1, 8, 6,,..2a—1, 
nous poserons N — 4a? — a”; ce sera un entier =3 
Mod. 8, et nous désignerons par 3 et 8 deux de ses 
diviseurs conjugués. Cela fait, soit: 
96 — a =$, 26 + a =3; 
ces conditions détermineront pour a et a’ des entiers ZR 
impairs, puisqu'on a: è= 33' Mod. 8, et en prenant — 
à «75; a sera positif. Le coefficient de qN sera ainsi 
la moitié du nombre des diviseurs de N, et M | 
écrirons: 
S= Dina” + 
Le rege S, suivant les ener deg — 
étant: 
s= S q} (4a? + dab = a7) 
a—1,8, by 052, 4, 6,., d'= 1,3, bp.. 20—11 
ou bien: ; 
om Y piatan 
