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335 Bulletin de l'Académie Impériale 
en posant: : 
d = a+b, 
nous ferons: 
N = 4aa — q^, 
Ce sera donc encore un entier = 3 Mod. 8, qui se 
présente comme le déterminant changé de signe de la 
` forme (2a, a, 2a') et de ce que nous avons établi $ I, 
à l'égard de ces formes, donne la conclusion suivante. 
Soit à l'égard des classes improprement primitives, 
(N) le. nombre total des formes ambigues, f(N) la 
moitié du nombre des classes non ambigues, le nombre 
des solutions de l'équation: 
est: (N)+ 3f (N), en exceptant le seul cas où N est le 
triple d'un earré, la quantité précédente devant étre 
alors diminuée d'une unité. 
On a ainsi: 
= MN [M+ NA; 
or on sait que (N) = 1o(N), de sorte qu'ayant obtenu: 
die Ww eme = = Y (Mg 
"nous en déduisons: 
S+ 25, = = S3 [+ 2f T 
et par suite: | 
| = 24 N IN e 2f(N jg. 
Le procédé que je viens d'employer conduit comme 
on voit au nombre total des classes iniproprement | 
représenté par 
primitives de déterminant — N, 
(N) + 2f (N), celui que j'ai donné antérieurement, 
: (Journal de Liouville, 1862, p. 25), fournissant sous 
A la forme même qu’a obtenue M Kronecker Péquation: 
=8 Y FN), ` 
où F(N) désigne le nombre des classes proprement 
j primitives. Du rapprochement de ces deux expressions 
résulte donc la relation des Disquisitiones Arithme- 
ticae 
FQ) = 3100 210] 
et dans le cas oú N est le triple d'un carré: A 
F(N) = 3[(N) + 2f(N)] — 2. 
M. Lipschitz a donné de la même relation 
démonstration purement arithmétique aussi 
qu'élégante «dans son beau mémoire publié d 
T. 53 du Journal de Crelle: Einige ge 
Theorie der quadratischen Formen. 
Après avoir établi les trois propositions 
Kronecker, il me reste à indiquer quelques 
quences de ces expressions analytiques que 
d’obtenir, qui ont leur origine dans la th 
fonctions elliptiques, et dont les développementss 
vant les puissances des variables dépendent du 
des classes des formes quadratiques de déter 
négatif. 
V. Il me reste à indiquer des conséquences ar 
tiques des formules de la théorie des f 
elliptiques dans lesquelles intervient la 
E(a); elles se tirent de la remarque suivant 
J'observe d'abord que si l'on pose: 
f(x) = 4+ A+. 
le développement suivant les puissances crois | 
la variable du quotient £ 15 donne la formule: 
ZS = A,+(4,+4,) 2+...+(4, + A++ 
Cherchons pareillement le coefficient de x" 
développement de la quantité / d e, où a dési 
nombre entier quelconque. Comp on peut. éi ie 
IE) xc NS dites 
Laag dam P Se 
à 20,1; Zuse 
E073; 2:5 
| 
nous poserons la condition ap + À = #; qui 
évidemment pour y. les valeurs: 0, 1, 2,- 
Soit donc pour abréger l'écriture: y El E 
clair qu'on aura: - | 
fe» — S (4,+4,+- d | 
1— x 
| c'est la relation analytique que je vais emplo: 
