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des Sciences de Saint- Pétersbourg. 
l'appliquerai d'abord en supposant Tä) = 1— 
obtenons dans ce cas la formule suivante: 
=I UEG 
n=0, Fit 
DIET = 
Multiplions ensuite les deux membres par +”, b dé- 
signant un entier positif, on en tire: 
-Xb-xe 
puis en changeant n en n — b: 
a. = pae > +E(=7)) a. 
On voit que dans cette nouvelle relation il est né- 
_cessaire de prendre E > — 0 lorsque » — b est 
négatif; nous ferons désormais cette convention, e 
en remarquant que: 1 +- E(x) = E(x+ 1), nous écri- 
rons plus simplement: E 
aia => ze) 
` 
Il convient de joindre à cette formule celle qui 
donne le déyeloppement de la fraction 
et qu'on obtient par l'identité: - 
E 
(1 — a) (1 — x°) 
(1 — 2) (1 + z^)? 
ab (1 — x9) 
(1— 2) (12%) 
e = 
(1— x) (1 +29) ^ 
Nous trouvons de cette manière: 
zb d n4-2a—b n+a—b\} n 
iaa = > EI 2a )—E( Ze E , 
ce qui conduit à introduire une nouvelle fonction 
E, (2), définie par la condition: 
E (£) = Ber) Bh 
On a ainsi sous une forme plus simple: 
ab —b 
aara > E, jr. 
Je me bornerai à remarquer à l'égard de la quantité 
E, (x), qu'elle est toujours égale à zéro lorsque la 
différence a — E(x) est moindre que 3, et à l'unité 
si l'on suppose z — E (x) >}, c’est ce que montrent 
les relations: | 
E, (1 4-1) — E, (1), 
E, (z 4-3) 1 — E, (2), 
E, (2) E (22) — 2E (a). 
J'appliquerai encore la formule: 
fie) 
la 
— 
SEN 
= 2 (A, A +... A) m" 
à un cas plus général en prenant: f(x) = FR 
où k ei un entier quelconque. Nous aurons alors: 
A = — ha Pre, et Pon sait aussi que la 
somme : dra +. Ee? a pour valeur 
(k + 1) EE (+1) e + 2. 
1.2..,* 
WS bah 
, 
ou bien: 
Il suffit donc pour obtenir le développement isch 
de remplacer v par E (>) dans cette expression. Mais 
í soit afin d'abréger l'écriture: 
E (x -- k — 1) 
E ? 
E, (a) = E(x) E (x ex 
ou aura ainsi: 
n- a n 
2: E a E , 
puis en raisonnant comme plus haut: 
ab n+a—b 
1-9 (0 7 > Ee dë 
Ce résultat établi, nous en tirons la formule relative 
à la fonction: en la mettant sous la 
1 ee 
ü-sa-em = 
(1 — 2) (1 + za)? 
k 
forme : ü = m goat Soit par exemple & — 2, un 
calcul facile donne la relation: 
en g(tte-i D op Gr: 
(1 — 2) ii +20? zu 
mais on peut suivre une autre voie, et en pompi: 
Fe = A,+A%+.. + A+... ; 
chercher Ja valeur de la somme: 4, + 4, + - + À, 
Il suffit pour cela d'avoir le gerens de x ? dans le 
développement de la fraction ¡> x ab A C'est ` 
ce que donne la décomposition en fractions simples, 
qui or d'écrire: 
9k—1 
Das d 
o 1 ge 
pe AA - 
E = 1+2 (1+2 
