Bulletin de l'Académie Impériale 
La quantité cherchée s’offre ainsi sous la forme: 
d eR (1 -e2 9e e 20725 79. 
air Do .(» -- k— 1). 
2 En y: 
le coefficient de x”, dans le développement de 
B ca est done obtenu explicitement au moyen 
de un ser 
fonetion a) ie ¿ar Ce méme coefficient s'expri- 
mera d'une maniére toute différente , au moyen de 
E LU et E zi) Soit k — 1, pour considérer le 
cas le plus Beer nous aurons la relation: 
SL SZ in cmm 
ou plutót: | 
Re etl 
Puis si Pon fait 7 = 
(2), tandis qu'en partant de la 
E + 
alc) ses] 
wën 
ce qui se vérifie immédiatement. 
= Je ne m'écarterai point de mon but en cherchant en 
ce moment à approfondir les relations de cette nature, 
_et je me bornerai à remarquer que as ces identités 
+ fort na | 
qa EPERERA a ent 
: Gau = a 2) — ana 
— 
— 
alla as, am 1412 
(l0 ? 
E 
KEE 
on conclut les propriétés suivantes de E (2) et E, (x): 
Ema), 
qa 
Faye ne e Ere) He 
B(2+)+2E, (s je m—1)E fo 
: sale C +(m—1)E, (e- 
| =E a (ma) — mE, (a). 
m-—1 
MENU E 
m—1 
= 
) 
VI. J'appliquerai les résultats précédents en premi 
lieu à la série d’Euler: E 
= X os 
où o (n) désigne le nombre des diviseurs den. La re- 
lation: 
aa 
er tam 
ip a 
1— e 1— a? gare 
qa 
(1 — x) (1 — x) rd 
donne alors, comme on voit, la proposition arithmé- ki 
tique bien connue 
e(1)-- p2)... e() = Y E(2) 
&— 1, 259,.4 
Et pareillement si l'on pose: 
Vz , f(2z f (a) x° 
i4 Tun IT im 
mami 
EX 
de sorte qu'on ait: 
Fin) = DU +f + f (1) +. 
en désignant par d, d; etc. tous les diviseurs de m, - 
nous obtenons: 
> D D 
F(1)+ F(2)+...+ F(n) = 
E 2, 5... 
Supposons en particulier que f(n) soit un polynôme | 
quelconque de degré k, qu'on pourra écrire ainsi: - 
E 
cm 1) 
rt 
sk 
fin) = A+ Bn+ TOURS an. 
Au moyen d'une transformation dont Jacobi a ! 
donné des exemples dans les formules du $ 40 des 
Fundamenta, nous aurons: A 
2) a? 
ide. 
Tos Adeo px 
LX XS Xen 
a = 1, 2; Divos 
+i Be 
"AULAE 
1-8 
On en conclut l'égalité: 
Stuten 
