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des Sciences de Saint- Pétersbourg. 
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et par conséquent celles-ci: 
n n i a. n 
XE) -XZ() 
+ "mms e INDY 
Zei) = Dal) 
qui offrent autant de nouvelles BCEE de la fonction 
E (x). 
Remarquons encofe au sujet de la série d’Euler 
qu’elle a été mise par Clausen sous la forme suivante: 
z (15) + (5) +. anam (Ea) +... 
on a donc:. de e | 
HN]; 
et l’on voit que dans le second membre les valeurs de 
a ne doivent pas dépasser l'entier contenu dans Va, 
que je désignerai par v, pour abréger. Benigno 
maintenant qu'on peut écrire: 
DEER 
"E Hs 
et que l’on a: 
y i 
N (a—1)= », 
1 
‚nous en conclurons la formule: 
4 
$ 
BT. „+m = 2 N E(7) —» 
ser. 2, 
dont j 'ai donné ailleurs une démonstration arias. 
tique’). 
Après la fonction 9 (n) se présentent celles que 
M. Kronecker a considérées dans son célèbre travail, 
sur le nombre des classes de formes quadratiques de 
déterminant négatif (Journal. de Borchardt T. 57, | 
p. 248), et qui se rapportent aux sommes des divi-- 
seurs des nombres. Elles sont ee et définies 
comme il suit: 
nombres: Extrait d'une lettre à M, Ed Es u p. 
Tome XXIX, Jb 
X(n) somme de tous les diviseurs impairs de n, 
Y (n) somme de tous les diviseurs de », 
Y(n) excès de la somme des diviseurs de » supé- 
rieurs à Vn, sur la somme des diviseurs moin- 
dres que Va, 
"p'(n) excès de la somme des diviseurs de n de la 
forme. Sk + 1, sur la somme des diviseurs de 
la forme 8k + 3, 
excès de la somme des diviseurs 8k +1, 
périeurs à Y n, et des diviseurs 8k + 3, eine 
que Vn, sur la somme des divisé ri 
moindres que Y», et des diviseurs 8k + 3, 
plus grande que Y». | 
V" (mi 
‚ L'illustre géomètre donne ensuite les Leg 
suivantes, où je suppose pour plus le clarté: 
E A e 
a == 
b= 2, 4, 6,. 
C = m 2, 9 
à savoir: 
qr EN ET q "yy 
KE 4-(—1Y]Xx(94 = > F Zoe ++ 7 
m 
Nto = > Dre = Zar 
dë rg 
S To= ie * 
nma C 
Y va’ — 2 
i NI Lus Ma a 
mew LT pu 
Nous pouvons par conséquent exprimer au moyen 
| de la fonction E(x) les diverses sommes 
DAA dis 2i 
X(2)-- X(£) +... et (1) # D (2) +... oe 
Mais parmi les résultats qu'on trouve ainsi, lis plus 
simples et les plus élégants ont été obtenus pour la ` = 
premiere fois par M. Lipschitz, à qui j’en dois 
la communication. En désignant par A, B, C, des 
nombres entiers de même nature que a,b, c, l'émi- 
: a établi, par une -méthode urement ju 
6) Acta mathematica, Sur quelquós points. ia la théorie des | NO „géomètre pa á dir u^ 
299. 
pes les pow suivantes: - 
