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Bulletin de l'Académie Impériale 
Prenons de même, dans la seconde formule: 
dë Va + Vas SC 
F (x) = S uma 
nous trouverons la relation: 
(i-a Var. Fi Ny === lp-* ont 3, 
1—x 2 e uo 
ÉL 
SCH Y4n 4-2 -- 1 
+ ioni N) 
Le rösultat suivant qui s’en tire: 
f(2) f10) . .. f(80--2) DET), 
op la somme doit s'étendre dans le second membre aux 
valeurs a— 1, 3, 5,... en s'arrétant à la racine du 
plus grand earré impair contenu dans 4n+ 2, a été 
donné par Liouville, dans une courte note qui porte 
| pour titre: Égalités entre des sommes qui dépendent 
. de la fonction numérique Æ(x) (Journal de Mathéma- 
.tiques, 2"" Série, T. V. 1860). 
b. vu. J'arrive maintenant au point que j'avais prin- 
: cipalement en vue, en déduisant des beaux 
théorémes de M. O démontrés au | 
commencement de ces recherches, les expres- 
sions des trois sommes: 
PM F(2) + F(6) arai EE 
. B= F()--F(5) +... + F(4n- 1), 
0 = = F(3)-- Ruiz . + F(8n + 3). 
i Voici, parmi plusidurs autres, deux formes sous. les 
quelles on peut les obtenir. . ` | 
i Considérons d'abord le premier théoréme: 
pue = 137 nen, 
| 2 | je remarque, pour former le quotient E que Pon: a: 
LE en 
=i ++ Ae -+.. 
E CIUS avons ainsi une première partie, dont le dé- 
eloppement suivant les puissances de g est donné 
M Ment par: la formule: 
| En appliquant ensuite l'égalité 
; er des sommes B et C; on trouve ainsi: 
e = Zen äerch 
CS 9,9. 
UI EE 
obtenue dans le para 
graphe précédent: . E 
Are.) w es 7 
KE KE E 
on trouve: 
err d Af (8c-+-2) gel 
4-0 1,2,9,.. 
n —1 
des 
La somme cherchée A, étant le coefficient de 
q'*:, dans le développement que nous venons de 
— 0, 1, 2: + 
H 
23, 
2 nous sommes amenés à la formulė: 
former de = A 
44 =X f(8c--2)-- 2 Y > r(8e a-2) pue? 
où il faut prendre dans le premier terme: = =0, 1 KI, 
et dans le second, c=0, 1, 2,... HIT SZ 
D’une manière toute semblable, nous parvo 
développements qui suivent: 
ee i Visio lad 
= Tor (EE) pr 
n — 0, 2:2 
o 2 E d com 
| ng, 1359. 
c0, i 2... SIE 
Cela étant, le coefficient de oz) dans le premier, 
et le coefficient de g"+ dans le second, donnent 
op 2 roses) 
46 — ne Si) 
en ù prenant e=0, 1, 2,. 3 | Na e 
* 
