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505 des Sciences de Saint - Pétersbourg. 
s=k er e—1 
E DIE "Pl. ==) o m=1+2+8+...+ —— LE ET 
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M "22 : 
qui, développée, donne: 
r—1 
jul MO : FIRE > 
m= E IK z( X ) E Wen 
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ech De? Lug =) pie 
LS D (E De). 
SC 
Pour r inférieur à a, égal à a — 2k, il n'y aura, 
comme je l'ai montré dans l’Opuscule cité, qu'à rem- 
placer l’exposant » de la formule (1) par la différence 
Ty m restant déterminé par la méme expres- 
sion (3). 
Commencons par présenter ici quelques formules qui 
découlent immédiatement des deux précédentes (1) et 
(3). Et d'abord observons, que l'élimination de l'ex- 
posant m, qu'on effectue en rejetant zéro et tout mul- 
tiple pair de m, conduit trés simplement aux résultats 
suivants: 
a—1, 
a a i —- (n-4-n') 
(+=) (am) = 0 2 . (4) 
a a " mn‘) 
ren (rs E (js .. (9) 
a a "i men! SC 
(c A (a) E GA -(6) 
tous les dénominateurs 2an + a + = 2k, 2an +a + 2% 
étant des nombres premiers. 
Voici encore deux formules 
a—1 
: —-(n+1) 
exi] tele, Vs. (7) 
ae En? $$ o hy o (8) 
u'on AAmantra di E E e E Pe + par la form. 
(3) l’exposant m relatif au premier de ces deux q. 
boles; en effet, comme l'on a r = giam. k= 
on trouve le résultat 2 
— 
2 3 
qui, substitué à » dans la form. (1), fournit la relation 
(7). Sege à l’exposant m dans la form. (1) la 
différence Lo — m, qui, pour m = i se réduit à 
Em 
zéro, on obtient l'égalité (8). 
Observons que si la base a est de la forme 4e + 1, 
Sc ir, et équent 1 1 membr 
— sera pair, et par conséquent le second membre 
de toutes ces formules se réduira à + 1. Dans le cas 
! — 2e + 1, et par suite 
le signe de l'unité dépendra de la parité ou non - parité 
des facteurs nn, nen- 1, n+l, n de s= 
qui figurent dans les exposants de (— 1). 
Je w'arréterai un instant sur les deux form. (4) et 
5), qu'on peut remplacer par une seule, nommément 
par la suivante: 
a A a ef 
p + ;) (s +) = { 
Je ferai voir que quels que soient les deux nombres 
premiers p et q (2 excepté), il existera toujours une base 
a telle, que chacun d’eux pourra être représenté par 
la même forme linéaire, de sorte que l’on aura 
em) 
— 1) . .(9) 
p = 2an-a-v et q = 2am +1, 
le reste r étant le méme pour p et q. En effet, soit 
p > q, et faisons : 
pa 
9v RES a, 
y désignant la plus haute puissance de 2 qui divise la 03 
différence p— q, et a le quotient de la division, égal 
à un nombre impair. Admettons maintenant, contrai- 
rement à notre assertion, que les restes de la division 
de p et de q par 2a soient différents. entr" eux, en sorte ` 
| que l’on ait | 
p-—2an- vr et q= 2an' +r, 
et par conséquent | 
—q = 2a (n— n)4-(r— 9) 
l'impossibilité de cette égalité, pour d différent. de "n S x 
devient manifeste en observant que p — g et 2a (n — n J^ 
I sont divisibles par 2a, tandis que e différence S —r Mi 
