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Bulletin de l’Académie Impériale 
comme inférieure à 24, ne l’est pas; donc r — r. Ainsi, 
quels que soient les nombres premiers p et q (2 excepté), 
il est démontré qu’on aura 
a—1 r 
(5) (^) = (—1)° we pour la base a — Zi .(40) 
Je cite cette formule par ce qu'elle m'a servi à la 
démonstration de la loi de réciprocité de deux nombres 
premiers, exposée dans le premier des deux Mémoires 
cités plus haut. 
Le but que je me propose dans ce 4*"* Article est de 
donner sous une forme, aussi simple que possible, l'ex- 
pression du symbole E ) pour quelques valeurs de la 
base a, et cela en cherchant à réduire le nombre des 
opérations indiquées par la notation Æ dans la formule 
générale (3). Mais, avant d'y procéder, je chercherai 
- 
la valeur de E 
form. (1) et (3) ne sont pas applicables á cause de la 
parité du nombre 2 
En partant de l'expression bien connue 
B= enn, 
je trouve cette autre 
, à la détermination de laquelle les 
No TARS, 
: (>) = (— 1) Sos (14) 
i Es pour la démonstration de laquelle il suffit visiblement 
de montrer que les deux entiers 
p-—1 pui 
z a EI) 
. Sont simultanément pairs ou impairs; pour s’en assurer 
. observons que 
SR pour p=4n-+-1, ona E GC = n, 
E = n(2n + 1); 
pour p = 4n--3, ona E (ez) = n= l, 
P = (n + 1) (2n + 1). 
Or, comme = : 
est égal, dans les deux cas, à 
lier E EC = d multiplié par le nombre impair | 
2n +- 1, il s'en suit que la parité ou la non-parité de . 
2o : ` : pal 
S entrainera nécessairement celle de E we 
Passons maintenant aux applications numériques du — 
théorème fondamental, exprimé par les form. (1) et (3). 
Soient p — 2an +r le nombre premier donné et a la 
base choisie. Commençons par le cas le plus simple, 
celui de a — 3, pour lequel le nombre premier p se — - 
présente sous les deux formes suivantes: E. 
p-—6n--5 et pz6n--l. E 
=], 0B 
Observant que dans le cas 
aura, en vertu la form. (1), pour la tre de ces ^ 
forines z 
3 næm 
(s ;) s ? 
et pour la seconde 
Ba neim d 
(=) cr d d 
m étant déterminé par là form. (3). Or, comme pour 
le nombre premier 6n + 5 le reste r = 5 = 3 + 2.1, 
et par conséquent k= 1, on trouvera simplement 
1, d’où (5) = ey 
Pour un nombre premier de la forme 6n + 1 m devra 
m zm B. 
&— i 
2 p 
3 * À 
(iei) = 2) EC 
Il est facile de voir que ces deux relations, comprises ` 
comme cas particuliers dans les form. (7) et (8), peu- 
vent étre remplacées par la formule unique 
Dear 
en effet, on voit que, 
Bar; 
pour p = 6n+ 5, on a E (ex) = n + 1, 
pour p — 6n + 1, on a ES E (n+)= 
ce qu'il s'agissait de montrer. 
Exemples. 
p = 53 = 6.8 + 5, 
\ - | ji 
(Werd *—cm--5 
