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erfolglos geblieben wären, da doch fast jeder Analyst, der sich mit geometrischen oder mecha- 

 nischen Problemen beschäftigt, zu solchen Glcichmigen gelangt, die sich dann meist, wie ein 

 unübersteigliches Hinderniss, der weiteren Forschung in den Weg stellen. Ein so wichtiger 

 Gegenstand konnte, der Natur der Sache nach, schon von den Mathematikern der ältesten Zeit 

 nicht unbeachtet bleiben. Es finden sich aucli schon die ersten Yersuchc zur Auflösung solcher 

 Gleichungen in den Werken von Newton, Stirling, Crammer, Lagrange und Anderen, 

 und ihre Untersuchuno^cn über diesen Geö:enstand Avaren auch nicht ohne Erfolg geblieben. 



Wir wollen sie hier in Kürze aufzählen: 



Die allerersten Versuche dieser Art, die mcln^ sind, als ein blosses Probiren und zufälliges 

 Errathen, und bereits ein geregeltes Yerfahren darstellen, finden sich in den AVerken Newton's. 

 Sie beziehen sich nur auf den allereinfachsten Fall, nämlich auf die Auflösung einer Buch- 

 stabengleichung mit einer einzigen überschüssigen Buchstabengrö ss e. Das 

 dabei eino-cschlao-enc Verfahren geht darauf hinaus^ die Wurzeln in Eeihenform ab- oder 



aufsteigend zu entwickeln, findet sich aber dort nur in den allgemeinsten Umrissen skizzirt. 

 Das cigenthümlich Neue bei dieser Methode ist eine geometrische Gonstruction, die den 

 Schlüssel zur Auflösung- bildet und mit dem Namen: „analytisches Parallelogramm'' 



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belcö't wurde. Diese P'cometrische Gonstruction wurde hierauf in mancherlei Problemen der 



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analytischen Geometrie mit vielem Nutzen angewendet. Beispiele solcher Anwendungen 

 und auch eine ausführliche Auseinandersetzung der Newton'schen Methode findet man in den 

 Werken: Stirling, Lineae tertii ordinis und noch genauer in: Crammer, Introduction a 

 Tanalyse de lignes courbes algebriques. 



Diese geometrische Gonstruction NcAvton's wurde später von De Gua in einer höchst 

 unwesentlichen Weise verbessert, und nun mit einem neuen Namen: „analytisches Dreieck" 



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belegt (üsage de Tanalyse de Decartes etc.). 



Eine wichtigere und bcmerkenswerthe Änderung bewirkte Lagrange und zwar, indem 



er erstens: die bisher unerlässliche geometrische Gonstruction Newton's durch ein rein ana- 

 lytisches Verfahren ersetzte, zweitens: die Entwicklung der Wurzeln in Form von Kettenbrüchen 

 bewerkstelligte. Die erste dieser beiden Änderungen war eine wesentliche Verbesserung, da man 

 jetzt durch eine hinlänglich einfache Eechnung und Vergicichung zum Ziele gelangte, wozu 

 sonst nur die geometrische Gonstruction führen konnte, aber auch die zweite w^ar von wesent- 

 lichemNutzen, da man vermittelst der Entwicklung in Kettenbrüchen auch jene Genüge leisten- 

 den Werthe, die inForm eines algebraischen Bruches miteinem geschlossenenPolynomeimZähler 

 und im Nenner erscheinen, in geschlossener Form durch eine endliche Anzald von Ecchnungs- 

 Operationen ermitteln konnte, während dieselben in absteigender oder aufsteigender Peihenform 

 nicht in geschlossener Form darstellbar sind. Iliemit hatte also die Auflösungsmethode 

 Newton's einen solchen Grad der Vollkommenheit und Ausbildung erlangt, dass man die in 

 Form von geschlossenen Polynomen oder eines algebraischen Bruches erscheinenden, kurz die 

 geschlossenen rationalen Genüge leistenden Functionen für eine algebraische Buchstaben- 

 gleichung mit einer einzigen überschüssigen Buchstabengrösse durch ein geregeltes Verfahren 

 sich verschaffen konnte. Dieses Verfahren war zw^ar auch geeignet, die incommensurablen 

 Wurzeln in Gestalt unendlicher Reihen absteigend oder aufsteigend geordnet, oder in Form 

 eines unendlichen Kettenbruches darzustellen, aber man hatte kein sicheres Mittel sich von der 



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Converirenz solcher Reihen zu überzeua'en, da. alle damals bekannten und zur Verfügung 



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gestellten Kennzeichen unzulänglich waren. 





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