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Aiiflö.vmgsmethode für algehraische Buclcstabengleicliungen etc. 



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welclie die wisscnswerthen Eigenseliaftcn ebenso und vielleicht nocli in einem grösseren Masse 

 verluillt, als die Gleicliung- selber. Wir cr^Y■älnlcn hier nur die Cardanische Formel für die 

 Gleichung des dritten, und die ihr ähnliche für jene des vierten Grades als einen solchen Fall, 

 AVir Avcrden daher keineswegs zunächst auf geschlossene Formen der Wurzeln Jagd machen, 

 und für uns können unendliche Eeihen denselben und nu'tunter einen viel höheren Werth 

 besitzen, Avenn sie die leichte BeantAvortung der gestellten Frage ermöglichen. Die Auflösung 

 einer Gleichung wird eher als ein Discutiren der wichtigen Eigenschaften der Genüge leisten- 

 den Werthe anzusehen sein. Ein solches Discutiren lässt sich, der Natur der Sache nach, nicht 

 mit einem einzigen Schlage vollenden, sondern zerfallt in eine Anzahl von Partialunter- 

 suchungcn und zwar in eine um so grössere, je mehr verschiedene Eigenschaften zu erörtern 

 sind, je complicirter das Problem ist. Es genügt desshalb nicht, die Wurzeln einer Gleichung 

 nur in einer einzigen Form darzustellen, sondern man ist genöthiget, sie sich in mehreren 

 verschiedenen Formen zu verschaffen, weil eine jede einzelne Form in der Ecgcl ^nur eine 

 einzige Eigenschaft aufzuklären vermag, über alle übrig<-n Eigenschaften aber keinen Auf- 

 schluss gewährt. Nur in den allereinfachsten Fällen genügt es, die AYurzeln in einer einzigen 

 Form zu besitzen. In dem liier behandelten Probleme sind die Genüge leistenden Werthe der 

 Unbekannten x Functionen von a und die Auflösungsmethode hat demnach solche Functionen 

 aufzustellen und ihre wichtigen Eigenschaften aufzudecken. Man erreicht diesen Zweck durch 



die nachfolgenden Untersuchungen: 



Erstens: Man entwickelt die Genüge leistenden Functionen in Form einer absteigend 

 nach Potenzen von a geordneten Eeihe und erhält hierdurch Aufschluss über ihr Verhalten für 



selu" grosse Wertlie von a. 



Zweitens: Man cruirt alle jene endlichen Werthe von a, für welche die Genüge leistende 

 Function einer U n t e r b r e c h u n g d e r S t c t i g k e i t unterliegt. ' 



Drittens: Man entwickelt die Genüge leistenden Functionen in Eeihenform, aufstei- 

 gend geordnet nach Potenzen einer Grösse a— «, wo a einen jener speciellcn Werthe von a 

 vorstellt, welchem eine Unterbrechung der Stetigkeit entspricht, und die durch die vorher- 

 gehende Untersuchung ermittelt sind. Auf diesem Wege gelangt man zur Kenntniss aller 

 Nenner und Irrationalgrössen, die in den Genüge leistenden Werthcn erscheinen. Man 



oft noch überdies in den Stand gesetzt, eine einfache und geschlossene Form 



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wird dadurch 



aufzufinden. 



Wir haben hier offen bekannt, dass die in Eccle stehenden Auflösungsmethoden vorzüg- 

 lich auf Eeihenentwicklungen basirt seien, und geschlossene Formen nur nebenher gesucht 

 werden, wenn sie ohne weitläufige Eechnungen erhalten werden können. Es steht zu erwarten, 

 dass dieses offene Geständniss bei den meisten Lesern statt als eine Anempfehlung zu gelten, 

 gerade das Gegentheil bewirken din-fte. Man pflegt meistenthcils in Eeihenentwickelungen nur 

 ein unbequemes Verfahren zu erblicken, und cntschliesst sich erst dazu, wenn geschlossene 

 Formen durchaus den Dienst versagen. Bei vielen Lesern mag sogar der Zweifel rege werden, ob 



denn doch diese Auflösungsm 



ethode eine neue sei, da bekanntlich mittelst der Taylor'schen und 

 Mac-Laurin'schcn Formcfdie Entwickelung explicirter und implicirter Functionen in Eeihen 

 gelino-t. Wir haben auch die volle Überzeugung, dass diese Auflösungsmethode nur allmählich 

 sich Geltuno- verschaffen werde, bis eine klare Vorstellung über 'den praktischen Zweck der- 



selb 



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ird Platz o-eo'riffen haben, dann aber kein Zweifel mehr bestehen könne, dass sie alles 



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leiste, was man vernünftigerweise von ihr zu fordern berechtigt' ist. 



Denkscliviftcn der matlicra.-namnv. Cl. XII. Bd. Abhaud). v. Siclitmitgl. , 



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