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Ignaz Heger 



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Der leicl-Ltcren Übersicht wegen ist die Behandlung des vorliegenden Problemes in vier 

 Abschnitte gcthcijt Avorden: 



Der erste Abschnitt lehrt die absteigend nach Potenzen von a geordnete Eeihen- 

 Entwickclung. - 



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Der zweite Abschnitt zeigt, wie die aufsteigend nach Potenzen einer Grösse 

 a — a geordnete Eeihen-Entwickclung einzuleiten ist und zwar für beliebige aber bestimmte 

 Zahlwerthe von a. 



I 



Der dritte Abschnitt enthält die Untersuchungen, die auf die Unterbrechung der 

 Stätigkeit bei den Genüge leistenden Functionen Bezug haben, fenaer die Ermittlung aller 

 Nenner und Irrationalgrösseri, die in den AVurzeln erscheinen. Es sind dort auch die 

 Grundzüge jener Untersuchungen aufgeführt, welche bisweilen zu geschlossenen Formen der 

 der Wurzeln führen. 



Der vierte Abschnitt hat die Bestimmung des Ergänzungsglicdes und die Unter- 

 suchungen über die Convergenz der unendlichen lieihen zum Gegenstande, zu welchen man bei 



der Auflösung meistenthcils gelangt. Dort finden die gelehrten ]\Iethoden ihre wahre Begrün- 

 dung und Peclitfcrtigung. Ferner geschielit dort Erwähnung von der geometrische]i Bedeutung 

 der verschiedenen Entwickclungsweiscn, insbesondere ihrer Anwendbarkeit zur Bestinmiung 



Asymptoten bei Gurven von einfacher Krümmung. 



Die vorliegende Abhandlung umfasst nur die beiden ersten Abschnitte. 



E n t w i c k c 1 u n ir der Wurzeln in Form einer nach a L s t e i 2: c n d e n Potenzen der u n a b h ä n 2: i ir e n 



ö 



Ö'Ö 



BuclistabengTÖssc geordneten Reihe. 



Einleitung. 



Im Folgenden ist eine Methode auseinandergesetzt, die Wurzeln einer algebraischen 

 Gleichung zwischen zwei Buchstabengrössen in eine Reihe zu entwickeln, geordnet nach 

 absteigenden Potenzen der lurabhängigen Buchstabengrüssc. Die gegebene Gleichung ist: 



P 



0. 



P bedeutet eine Summe von Gliedern von der Form IIa^x\ x stellt die unbekannte oder 

 abhängige, et die unabhängige Buchstabengrösse vor, 11^ a und ;!: sind bestimmte Zahlwerthe. 

 Diese Form der Gleichung ist eine sehr allgemeine. In ihr ist die ganze und rationale alge- 

 braische Gleieliung als specieller Fall enthalten. Sind nändich alle a und ]i ganze, positive 

 Zahlen, die NuUwerthe mit eingerechnet, so lässt sich das Gleichungspolynom stets auf die 

 folgende Form bringen: 



A 



m 



X 



,m 



i-A 



m — 1 



X 



m — 1 



Ä 



m—z 



9 JU 



m 



A^x -Y A 











und in dieser bedeuten A.^,.^^ A^_^^ -4^-2? • • • -^li? -^o selbst wieder Polynome 5 deren Glieder 

 die alk'cmeine Form Ila^ besitzen. Wir suclien hier eine Function von a, die die Eiif-enschaft 



I 



besitzt, anstatt X in das Polynom P substituirt, dasselbe in einen identisch, d. h. für jeden 

 beliebigen AVerth von a sich auf Null reducirenden Ausdruck zu verAvandehi. Wir verfügen 



jedoch im Voraus über die Form dieser Genüge leistenden Function, und setzen sie in Gestalt 

 eines nach absteigenden Potenzen von a geordneten Polynomes voraus: 



^r-*»*. 



