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AuflösungsinctliodG für algehraische Buclistahenghlcltiüigen etc. 



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X 



li^ a ^« 4- \ a ^^ + k> a^' -V + K ^-i 



^r 



in wclclicm zwisclicn den Exponenten die Relation: 



c 



*o 



^1 



'T^0 





bestellt und die Glicdcranzalil entweder eine endlicLc oder unendliche sein kann. 



Eine solche willkürliche Voraussetzung der Funetionsform fordert allerdings einerseits 

 ihre Eechtfertigung, andererseits aber eine, genügende Motivirung. Von der Ersteren dispen- 

 siren wir uns vor der Hand, iiidem wir später ohnehin zeigen werden, dass eine solche EntAvicke- 

 luno-sweisc der AVurzeln stets zulässig und die dabei erhaltene meistentheils unendliclie Keihe 



gros 



ö 



In Bezug der Letzteren Avollen wir hier nur erwähnen, dass man die Auflösungen der 

 Gleichungen des ersten und die der binomischen hüheren Grades schon seit langer Zeit in 

 solcher Form zu suchen geAvohnt sei, und zu diesem Behufe die bekannten Bvcgeln zur Division 

 und zumAVurzelauszichen besitze. Die im Folgenden behandelte Methode Avürde daher schon, 

 iusoferne sie eine Verallgemeinerung dieser beiden Regeln darstellt, hinreichend motivirt sein. 

 Wir wollen uns auch jetzt mit dieser Motivirung begnügen, und werden später, Avenn Avir diesen 

 Gegenstand mehr Averden erörtert haben, über den Zweck und die eigentliche Bedeutung einer 

 ■solchen Entwickelungsweise die nöthigen Bemerkungen folgen lassen. 



Dadurch, dass AvIr x in dieser Form auffassen, Avird das Problem Avesentlich vcräiidert. 

 In der Tliat, da nun x als die Summe von Glicder]i von Form Iia^ aufgefasst Avird, treten an 

 die Stelle der einzigen Unbekannten x, deren mehrere, nämlich einem jeden einzelnen Glicde 

 ha^ dieser Eeihc entsprechend, deren zAvei: der Exponent c und der Coefficient L Wäre dem- 

 nach X eine aus r + 1 solchen Gliedern Zusammengesetze Eeihe, Avic die folgende: 



Ao a ^' 



li^a 



<!l 1 



li , aß- 



k 



..a 



f. 



r 



SO AYären an die Stelle der einen Unbekannten x deren 2r + 2 an der Zalil getreten. Abe 

 diese VeroTössernno- der Anzalil der Unbekannten ist liier, weit entfernt ein NacLtlieil 5 



zu senr 



1 



vielmehr ein Vortlicil, denn diese neuen Unbekannten sind keine Functionen von a mehr, 



sondern Zahlen. 



Durch die über die runctionsform von x gemachte Voraussetzung ist daher das Problem 

 in ein wesentlich Terschiedcnes verwandelt worden. Da der Natur der Sache nach x eine 

 bestimmte Function von a bedeutet, so werden die 2r + 2 Grossen: 



Co 7 ^1 ; ^'^ 



C, 



2r-l- 2 Bedinoaino^so-leiclnnn^-en zu erfüllen haben, da nur auf solche AVeise diese Grössen 

 ihrem Zalilwertlic nach vollkommen bestimmt sein können. Es ist andererseits bekannt, dass 

 die Gleichuno- P= 0, als nach x einem höheren Grade angehörig mehrere und in der Eegel 

 von ehiander verschiedene Auflösungen zulasse, und dass demnach nicht ein einziges, sondern 

 mehrere verschiedene Systeme von Zahhverfchen für diese 2? 



2 Grössen sich werden auf- 

 finden lassen. Hieraus wäre man schon geneigt zu veri-iiuthen, dass die zur Bestimmung dieser 

 Grössen dienenden Gleichungen^ namentlich für die dem Anfangsgliede li^a'' zukommenden 

 Grössen c. und h. von höherem Grade sein werden. Allein wir werden zu unserer nicht 



er 



^erlügen Überraschung sehen, dass die Exponenten fo? fi; ^2 ir stets nur durch Gleichungen 



des ersten Grades gegeben sind, während allerdings die zur Bestimmung von h^^ h^ hT 



p 



* 



