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Ignaz Heger. 



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dienenden Glclclmngen von liölierem Grade sein können; und trotzdem entspricht doch im 

 Aligemeinen einer Gleiclmng liolicren Grades iiacli x niclit ein einziges System Yon Wertlien 



fo) ^u ^2 6,., sondern deren melirere. Dieser selieinbare Widersprucli wird sicli aber 



alsbald belieben, wenn wir die Bedingungen kennen lernen, welclien die Exponenten 



^2 ^r entspreclicn müssen. Diese Bedingungen sind ganz eigentliümlicLer Art, so zwai^ 



dass der erste Exponent ^o (gelegcntlicli auch die späteren f,, ?,...-.) nicht eine einzige und 

 bestimmte Gleichung, sondern im Gegentheile so viele Bedingungen zu erfüllen hat als das 





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Polynom P Glieder von der Form Ila^'x' besitzt. Von alF diesen BedinoamP-cn ist eine einzio-e 

 eine Gleicliung, alle übrigen aber Ungleichungen. - * 



Um sieli von der Natur dieser Bedingungen eine Vorstellung maclien zu können, denke 

 man sich aus einem jeden einzelnen Gliede Ila'x' des Glcichungspolynoms P einc'lineare 

 Function a + ;c Co abgeleitet. Man erhält, dermassen verfahrend, so viele verschiedene Functionen 

 vom ersten Grade nach ^,, als Glieder im Gleichungspolynome bestehen. Substituirt man nun 

 anstatt fo beliebige Wertho, so werden diese Functionen der Ecihe nach bestimmte, aber in 

 der Eegel gänzlich von einander verschiedene Wcrthe erlangen. Nur für gewisse AVerthe von 

 fo werden zwei, gelegentlich auch mehrere dieser Functionen gleiche Werthe besitzen, f, ist 

 nun, um als Exponent im Anfangsglicde von x zu gelten, so zu Avählen, dass zwei oder uiehrere 

 dieser Functionen gleiche Werthe aufweisen. Man Avürde dieser Bedinoaino auf mehrere ver- 



Bedingung ist nicht die 



schiedene Arten genügen können, in der Eegel auf so viele verschiedene Arten, als Combina- 

 tionen zu Amben zwischen diesen linearen Functionen möglich sind, und es wären demnach 

 in der Eegel eben so viele verschiedene Werthe von ^^ zulässig. Allein die hier erwähnte 



einzige, die man zu erfüllen hat, man muss noch überdies Soro-e 

 tragen, dass alle übrigen Functionen kleinere oder doch wenigstens keine grösseren AYerthe 

 erhalten, als die zwei einander gleichgesetzten. Durch diese hinzutretende Bedingung erweisen 

 sich viele jener durch Gleichsetzen von zwei beliebigen Functionen a+T^o gewonnenen 

 Werthe ^o als unbrauchbai-, weil für dieselben eine oder mehrere der übrigen Functionen 

 grössere Werthe erlangen, und es tritt dadurch eine Verringerung ihrer Anzahl ein. Nichts 

 desto weniger bleiben meistenthcils mehrere verschiedene Werthe von f^ übrig, so zwar, dass 

 durch diese neue Bedingung nur gewisse der erwähnten Combinationen zu Amben sich als 

 brauchbar erweisen. 



Wir lernen hiemit ein Problem kennen, eigentlnhnlich in soferne, als die zu suchende 

 Grösse nicht eine bestimmte Gleichung, sondern nebst einer mit einer gCAvissen Unbestimmt- 



heit 



versehenen Gleichung noch eine Anzahl 



von anderen 



Bedingungen zu erfüllen 



durch Ungleic]umo-en ausgedrückt sind. 



Zur 



hat, die nicht durch Gleichungen, sondern 



Auflösung dieses Problemes werden wir durch eine geometrische Construction gelangen; aber 

 eigentlich gehören alle derartigen Probleme, in welchen Bedingungen vorkommen, die nicht 

 durch Gleichungen allein, sondern durch Ungleichungen ausgedrückt werden, in ein eio-enes 



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Gebiet und erfordern (im(^ eigenthümliche Bchandlungsweise. In soferne ist daher die Bestim- ■ 

 muug des ExpoJienten ^, von der Auflösung A^on Ungleichungen abhängig. Dass wir dieselben 



hier von einer geometrischen Construction abhängig machen und auf solche Weise die Analyse 

 der Ungleichungen umgelmn können, verdanken wir dem günstigen Umstände, dass wir eine 

 eine einzige Unbekannte f zu bestimmen haben, und die Abhäno-io-keit der hier in Betrachtun 



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kommenden Functionen dieser Grösse, nämlich die der verschiedenen a-f-l'c durch Linien 

 in der Ebene darzustellen vermögen. Übersteigt jedoch die Anzahl dieser Unbekannten die 



