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Auflösungsmethode für algebraische Bicchstabengleicliungen etc. 



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zwei 



so sind solche geometrische Betrachtungen nicht mehi^ möglich, und man besitzt 



Zahl 



kein Mittel, die Auflösung von Ungleichungen zu umgehen. Wir geben hier der geometrischen 

 Auflösuno\sniet]iode nur darum den Yorzuo- vor dem viel vollkommeneren und in Wahrheit 

 bequemeren analytischen Verfahren, weil wir die Tlicorie der Ungleichungen, deren Wichtig- 

 keit sich hier zum ersten Male ergibt, nicht als bekannt vorauszusetzen berechtigt sind, und 



so zu sagen, eine populäre Darstellung der Natur 

 solcher Probleme und des zu ihrer Auflösung dienenden Verfahrens abgeben. Wir werden in 

 der TJiat darauf hinweisen, wie hier bei der geometrischen Construction Schritt für Schritt 

 genau dasselbe geschieht, wie bei der analytischen Auflösungsmethode. 



In der Eegcl werden die verschiedenen Auflösungen x^ in der erwähnten Form aufgestellt, 

 sich schon in dem Anfangsgliede li^a^'' von einander unterscheiden und es gehört zu den 



weil die geometrischen Constructioncn, 



Ausnahmsfällen, dass zwei oder mehrere Auflösungen dasselbe Anfangsglied li^a^^ gemein- 



ird demnach meistentheils 



Schreitet 



schaftlich besitzen. Mit der Besimmung der Anfangsglieder wir 

 jede einzelne Auflösung schon isolirt und von allen übrigen uoiterschieden sein, 

 man nun zur Bestimmung der nachfolgenden Glieder, so wird sich zu einem bestimmten 



A^on Folgegliedei'n ergeben. Wir ersehen 



solchen Anfano^so^-liedc nur eine einzio-e 



Eeih 



also hieraus, dass die Bestimmung des Anfangsgiicdes die Trennung der AVurzeln bewerk- 

 stellige, während die Bestimmung der Folgeglieder die Approximation vorstellt, analog 



dem bei Zahlengleichungen eingeleiteten Verfahren, welches gleichfalls in zwei Thcile zerfällt^ 

 nämlicli in die Trennung der Wurzeln und in das eigentliche Approximationsverfahren. Da 

 nun die Bcstimmunir der Anfano-so'lieder einen franz anderen Zweck erfüllt als die Bestimmung: 



ö' ö 



der Folgegliederj so wird auch das zur Bestimmung der Anfangsglieder dienende Verfahren, 

 der Natur der Sache nach, ein ganz anderes und complicirteres sein als dasjenige, welches die 

 Folgeglieder liefert, und es zerfällt daher die Eeihe der nachfolgenden Untersuchungen in zwei 

 Hauptabtheilungen. In der ersten wird von der Bestimmung der Anfangsglieder gehan- 

 delt, während die zweite die Bestimmung der Folgeglieder lehrt. 



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L Bestimmung des Anfangsgliedes. 



Das Anfangsglied h^ci^' enthält zwei Grössen, nämlich den Exponenten ^^ und den Coef- 



ficienten li^^ die ihrem Zahlwerthc nach zu bestimmen sind. Die Bestimmung des Anfan^^-s^^-liedes 



b'-'ö 



wird daher in zwei Theilc zerfallen, nämlich hi die Bestimmung von Co wnd in die von \. Eine 

 jede dieser beiden Grössen hat gewisse Bedingungen zu erfüllen. Sind uns diese Bedingungen 

 bekannt, so werden wir auch ihre Zahlwerthe anzugeben im Stande sein, und der nächste 

 Schritt, den wir zu thun haben, ^besteht in der Erörterung dieser Bedinginigcn. Ilaben wir dann 

 diese Bedingungen aufgefunden, so werden wir noch anzugeben haben, wie man diese Bedingxm- 

 gen erfüllen und so zu den Zahlwerthen von Co und It^ gelangen könne ; denn, wie schon 

 bemerkt wurde, sind zwar f^ und Äq durch Gleichungen gegeben, allein diese Gleichungen 

 lassen sich nicht unmittelbar bilden, sondern es führt erst eine eigcnthümliche Untersuchung 

 ZU denselben. 



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