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Tgnaz Heger, 



Zu den Bedingungen, welche die beiden Grös>sen c^ und 7^, zu erfüllen haben, kann man 

 auf sehr verschiedenen \s^QgQ.n gelangen. A¥ir wälilen hier den von Fourier betretenen AVeg 

 der directcn Substitution, d. h. wir substituiren eine absteigend geordnete, mit dem 

 Anfangsgliede h^a^' versehene Ileihe anstatt x in das Gleicliungspolynom P, wobei A^ ^^nd co 

 unbestimmte Zahlen vorstellen, und untersuchen, für welche AVertlic der unbestimmt gelassenen 

 Grössen c^, und h^ dieses Substitutionsresultat in seinem ersten, mit der höchsten Potenz von a 

 versehenen Gliede auf Null gebracht werden könne. Wir geben dieser Ableitungsweise den 

 Vorzug vor allen übrigen, weil wir so unabhängig von allen Lehrsätzen, die zur allgemeinen 

 Theorie der Gleichungen gehören, zu den gesuchten Bedingungen gelangen und andererseits 

 dabei den Vortheil geniessen, über die Beschaffenheit der mit bestimmten ZalÜAverthen verse- 

 henen Grössen a und ;i: keinerlei beschränkende Annahmen zu machen. Diese Bedinguno-en 

 gelten daher nicht blos für ganze, rationale und geschlossene Polynome P, sondern auch für 



solche, denen diese Eigenschaften fehlen. 



Schreiten wir nun zur Ausfiihrung dieser Substitution. Eine kurze Überlegung zeigt, dass 

 sich dieselbe nur bis zu einer gewissen AVeite hin wird ausführen lassen, so lange über den 

 Zahhverth des Exponenten Cy keine bestimmte Verfügung getroffen ist. In der That hat man 

 die statt x genommene lieihe zuerst in jedes einzelne Glied des Gleichungspolynoms zu setzen 

 und wird dabei aus einem jeden solchen Gliede lla'x' einen mehrglicdrigen Ausdruck erhalten, 

 der gleichfalls nach absteigenden Potenzen von a geordnet ist^ nnd ein Anfangsglied von der 

 Form : 



1 



Ilh.'a'^'^'^ 



besitzt. Weiter als bis hieher lässt sich die Substitution nicht ausfiü 



jren, ohne dem c. einen 



Wertli zu ertheilen, 



b 



verschiedenen Ausdrücke, welclic den einzelnen Gliedern des Gleichungspolynoms entsprechen, 

 und hiezu ist es nöthig, die verschiedenen Glieder von der Form (1) in Bezug auf die in ihnen 

 erscheinenden Potenzen von a mit einander zu vergleichen. Gesetzt, Cu wäre mit einem 

 bestimmten Zahlwerthe versehen, so wären es auch die Gradzahlen a + ;t:co ^^^'^^ i^^^^^i könnte 

 ohne alle Schwierigkeit eiitscheiden, Avelches der verschiedenen Glieder von der Form (1) die 

 höchste Potenz von a besitzt. So aber, da der Zahlwerth von $. noch unbestimmt ist kann eine 



solche A^ergleichung der Gradzalilen a + ^c^ ^^d^^t unternommen und daher auch die Substitu- 

 tion nicht weiter geführt werdeu. Allein gerade diese nur bis liieher und nicht weiter aus- 



geführte Substitution gibt die Bedingungen an, welchen bei der Wahl von fo entsprochen 

 werden muss. Wie eben bemerkt wurde, handelt es sich nun zunäclist darum, die verschiedenen 

 Gradzahlen a-\-}:$o mit einander zu vergleichen und unter ihnen die CTösste auszuwälden. 



Der Erfolg einer solclien Vergleichnng kaim jedoch ein doppelter sein: Entweder findet sich 

 nämlich unter denselben eine einzige solche, mit dem grössten Zahhvertlie versehene Gradzahl; 

 oder es kommt dieser grösste Zahlwerth zweien oder mehreren derselben gemeinschaftlich zu. 



Der ersterwähnte Fall wird sich häufiger zutragen, während der zweite nur für specielle Werthe 



von c 



eintreten kann. Die ünterscheiduno 



v.xxiLi.^toii avo^iiii. jL/iv uuiuiöunemung dieser zwei Fälle ist für den Gang der weiteren 

 Substitution und für die Form des höchsten Gliedes im Substitutionsresultatc P^ von AVichtig- 

 keit. Findet sich nämlich eine einzige Gradzalil der verschiedenen a + ^c^ ^^'^^^ ^^''^^^ grössten 

 Zahlwerthe versehen, so wird sich bei der Summirung der Ausdrücke, welche den einzelnen 

 Gliedern des Gleichungspolynoms cntspreclien, mm ein einziges Glied vorfinden, Avclches a in 





