Auflösung smetl tu de für cägebrahclie Bnclidahcnnlelclaingr-n etc. 



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r 



Das Problem ist folgendes: Es ist ein Polynom P gegeben, bestehend aus mclircrcn 

 Gliedern von der Form Ila^'x''] aus den Exponenten a und r eines jeden einzelnen solchen 

 Gliedes bilde man eine Function von Co? nämlieb die a f^^o? deren liildungsweise von selbst 

 ersiclitlicL ist: nun sollen jene Zalihvertlie von c^ angegeben werden, welche unter all diesen 

 verschiedenen Functionen zweien oder mehreren denselben gleiche, allen übrigen aber kleinere 

 Werthe crtheilen. Diese Bedingungen sind es, welche Co ^^^ erfüllen hat. Betracliten wir nun 

 fo als Abscisse, die lineare Function a + ^?o = ^^ als zugehörige Ordinate, so lässt sich für jede 

 lineare Function die zwischen c und rj bestehende Abhängigkeit duix-h eine Linie, und zwar 



durch eine gerade Linie darstellen. Diese gerade Linie stellt die Gcsämmtheit aller Punkte 



auf der Ebene dar, deren Coordinaten c m\d r^ in derjenigen Abhängigkeit zu einander stehen 



; 



wie sie die Gleichuno- 



O 



'fi 



a 



l 



s 



zwischen ihnen feststellt. Für jede einzelne lineare Function, gewissermassen also für jedes 

 einzelne Glied Ila'-x'' ergibt sich eine bestimmte solche Gerade, also für alle die verschiedenen 

 linearen Functionen ein ganzes System solcher Luden, deren jede eine andere Lage besitzt. 

 Plier in der verzeichneten Figur ist es nicht schAver zu sehen, welche der linearen Functionen 

 für einen gewissen Bereich der Werthc von f den grössten Werth besitzt. 



Um hievon eine deutliche Darstellung zu geben, wählen wir ein Beispiel, nämlich die 



Gleichung' 



ax^ ^ ' 



a 



x^ -\- x^ + a X- 



h c d 



X 



e 



a^x + zax -f- a 



J g h 



a 



i 







Die linearen runctioucu Jer einzelneu Glieder sind folgende: 



'Q 



a 



1 ^k 4 



^ 



C 



7 



Ve 



9 ^ 



^ ^ ? 



^'0 



-4e, 



9 4- f 





1 +f 



^ 



d 



9.1.26, 



; 



^/A 



2, 



V 



1. 



Das durch diese Gleichungen bestiumite System von Lijuen ist in Fig. 1 dargestellt. Jede 

 Linie ist mit denselben Buchstaben bezeichnet, welche den entsprechenden y^ und den eorre- 

 spondirenden Gliedern des Gleichungspolynoms angefügt sind. In dieser Zeichnung sehen wir 

 alsbald, dass für alle möglichen Werthe von c nur drei Linien die oberste Lage einnehmen, 

 nämlich für f <0 ist die mit h bezeichnete Linie die am höchsten gelegene, für jene Wcrthc 

 von c die zwischen ü imd -'^ liegen die Liiiien d und für grössere c als 4 «^^ic Linie a. Li den 

 Durchschnittspunkten A und B, welchen die Werthe $ ^ und c = 4" entsprechen, ist es 



nicht mehr eine einzige Linie, welche das grösstc ^ besitzt, sondern es sind deren mehrere. Im 

 Punkte A schneiden sich drei Linien, nämlich die Ä,/und d] sie besitzen alle drei dort dieselbe 

 höchste Lage, allen dreien entspricht dieselbe grösstc Ordinate ly = 



= 2 , w^ährend alle übrigen 

 Linien kleinere Werthe für ihre Ordinaten liefern. Wir schliessen hieraus, dass Avenn man 

 anstatt .T in das Gleichungspolynom eine absteigend geordnete, mit dem Anfangsgliedc ha^=:h 

 beginnende Eeihe substituirt, ein Substitutionsresultat hervorgeht, in welchem er die höchste 

 darin erscheinende Potenz von a ist, und dass dieses mit a^ versehene höchste Glied des Sub- 

 stitutionsresultates sich aus drei Bestandtheilen zusammensetzen werde, welclie aus den drei 

 durch die Linien ^,/und »i bezeichneten Gliedern: a^, — a"x, a'x^ hervorgehen. Der in diesem 

 höchsten Gliede erscheinende Coefficient ist demnach ein Trinom, namentlich das folgende: 



1 — Ä 



Ä^ 



l)euköthi-ifu:n der mathcm.-naturw. Gl. XII. Bd. AbhandJ. v. Mclitmitirl. 



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