Auflösungsriietliode für algebraische Biiclistahengleicliiingen etc. - 



125 



polynom eine absteigend geordnete Reiliej deren Anfangsgiied li^a^'' ist^ und ei-tlieilt man dem 

 alle denkbaren Wertlie^ indem man von dem grössten beginnt und zu immer kleineren, durch 





alle mögliclien Zwischenstufen herabsteigt , so wird sich zeigen, dass anfangs das mit der 

 höchsten Potenz von a versehene Anfangsglied des Substitutionsresultates aus demjenigen 

 Gliede des Gleichiu:^gspolynoms hervorgeht, welches x in der höchsten Potenz, und falls 

 mehrere solche sich vorfinden sollten, unter diesen wieder dasjenige, welches a in der höchsten 

 Potenz enthält, dem also das grösste i^ und unter diesen wieder das grosste a entspricht. Dies 

 dauert so lange fort, als man sich oberhalb desjenigen Wcrthes von c befindet, der dem am 

 meisten nach rechts gelegenen Eckpmikte in der gebrochenen Linie entspricht. Kommt man 

 endlich auf diesen speciellen Werth von c? so liefert dieses nach x höchste Glied noch immer 

 ein mit der höchsten Potenz von a vei^sebonos Glied zum Substitutionsresultate, allein es 

 tauchen noch ein zweites, gelegentlich auch mehrere Glieder auf, welche gleichfalls einen 

 solchen Bestandtheil mit derselben höchsten Potenz von a befern. Diese Bestandtheile, in der 

 Regel zwei, manchmal aber auch mehrere an der Zahl, setzen nun das höchste Glied des 

 Substitutionsresultates zusammen, während es früher nur aus einem einzigen Gliede hervormno^ 



J 



ö"""ö 



Verringert man diesen speciellen Wcrth von c um eine beliebig kleine Grösse, so bleibt von all 

 diesen Ghedern, welche die höchste Potenz lieferten, nur ein einziges übrig, und zwar unter 

 ihnen gerade dasjenige, welches das kleinste j. besitzt. Dieses Glied liefert nmi wieder für ein 

 endliches Intervall der Werthe f das höchste Glied des Substitutionsresultates ganz allein. 

 Dieses Intervall erstreckt sich auf der Abscissenaxe von dem eben verlassene]i Eckpunkte der 

 gebrochenen Linie bis zum nächsten Eckpunkte. Erreicht man endlich, diesem zweiten Eck- 

 punkte entsprecliend, den an der unteren Grenze dieses Intervalles liegenden Werth von f, so 

 tritt eine ähnliche Erscheinung auf wie früher. Für diesen speciellen Werth von c geht nämlich 

 wieder das höchste Glied des Substitutionsresultates nicht aus einem einzigen, sondern aus 

 zweien oder mehreren Gliedern des Gleichungspolynoms hervor. Auf solche Weise übergeht 

 die Rolle, das höchste Glied des Substitutionsresultates zu liefern, von Glied zu Glied des 

 Gleichungspolynoms sprungAveise. Der Sprung findet immer Statt, wenn c einen Eckpunkt der 

 gebrochenen Linie erreicht, so zwar, dass dort diese Rolle von mehreren Gliedern des 

 Gleichungspolynoms übernommen wird. Auf solche AYeise wandert diese Rolle vom höchsten 

 Gliede des Gleichungspolynoms sprungweise zu stets niedrigeren, endlich bis zu dem 

 niedrigsten. Von der Art .dieser Wanderung, so wie über die Stelle, wo dieser sprungweise 

 Weelisel der Rollen stattfindet, gibt die gebrochene Linie Aufschluss. 



Wie wir gezeigt haben, lassen sich alle auf das Anfangsgiied der absteigenden Entwicke- 

 lungsform von x bezüglichen Fragen aus dem verzeichneten Systeme von geraden Linien 

 beantworten, indem man die Durchschnittspunkte der am höchsten liegenden Linien ins Auge 

 fasst. Die durcli diese Durchschnittspunkte gehende gebrocliene Linie gibt über die Form des 

 höchsten Gbedes im Substitutionsresultate Po ^'^^ nöthigen Aufschlüsse. Es gehört auch keines- 



r 



Avegs zu den schwierigen Aufgaben, diese Durchschnittspunkte und die gebrochene Linie aus 



(^lem verzeichneten Systeme abzuleiten. Das hiezu einzuleitende Verfahren ist im Wesentlichen 

 folgendes: Beginnen wir mit derjenigen Geraden, deren Gleichung 5y = a + ;i:| das grösste ^ 

 aufweist, also mit derjenigen, welclie mit der Abscissenaxe den grössten Winkel einschliesst, 

 und schreiten wir auf ihr in der Rielitung der negativen c vor, bis wir einem Durchschnitts- 

 punkte begegnen. Bei diesem Durchsehnittspunkte angelangt, bemerken wir den zugeliörigen 

 Werth von q\ derselbe ist ein brauchbarer Exponent für das Anfangsglied A^a^nmd ZAvar unter 



f 1 



__ \^ _^ 



