■ 



Aiißösungsincthode für aJgebralsclie Bitchstahenglcicliiingen etc 



131 



Auflösung des Systcmes linearer Üngieiclnuigen mit zAvei Unbekannten yoi^ und ist ein Gebilde 

 von zwei Dimensionen, entsprecliend den zwei Unbekannten c und '/j. Dieses Polygon ist zunächst 

 beg'renzt von einer Anzakl von Seiten, nämliob aba^eiirenzten P-eraden Linien. Diese Linien 



O^iD 



m 



sind die GrenzAvertke der ersten Ordnung, und besitzen um eine Dimension Avcniger, weil eine 

 Unbekannte durcb die auftretende Gleicliimg sclion bestimmt ist. Diese Polygonseiten sind 

 ^vieder abgegrenzt durcb die Eckpunkte oder die Grenzwerthe der zweiten Ordimng, Gebilde 

 von ]S"ullDimensionenj da zwei Gleicliungen keiner der zwei Unbekannten mebr einen Spielraum 

 für ihre beliebige Wahl gestatten. Da nur die Grenzwerthe der höchsten Ordnung aufzähl- 

 bar sind, so ist es cigentlicli immer mu^ ilu'e Bestimmung, um die es sich bei der Auflösung- 

 eines Systemcs linearer Ungleichungen handelt. AVie dieselben durch ein einfaches combinato- 

 risches Verfahren ermittelt werden, wurde eben früher gezeigt, nur gelangten wnr zu diesem 

 Verfahren auf einem anscheinend ganz verschiedenen Wege, nämlich durch geometrische Be- 

 trachtungen. Das Gesagte dürfte hinreichen, um zu zeigen, dass die Bestimmung des Exponen- 

 ten Co ina Anfangsgliede eigentlich von der Auflösung eines Systemcs von Ungleichun- 

 gen zwischen zwei Unbekannten c ^^"^d y^ und namentlich von der B estimmung der Grenz- 

 werthe zweiter Ordnung abhängig sei. 



Es ist hier gewuss nicht überflüssig, dem Leser einen kurzen Überblick zu geben 

 über die Ai't, wie das so eben eriedigte Problem von verschiedenen Mathematikern behandelt 

 wurde. ' ' 



Der erste glückliche Versuch, dieses Problem zu erledigen, findet sich in den Werken 

 NcAvton's. Derselbe nahm zu einer geometrischen Construction seine Zuflucht und belegte die- 

 selbe mit dem Namen: „analytisches Parallelogramm". Das Verfahren ist dabei folgen- 

 des: Man denke sich auf der Ebene zAvei orthogonale Coordinatenaxen angenommen, und nun 

 einem jeden einzelnen Gliede Ila^'x^ des Gleichungspolynomes P einen Platz auf derselben 

 angcAviesen, indem man ^ als Abscisse und a als die zugehörige Ordinate eines Punktes ansieht. 

 Hat man in solcher Weise für ein jedes ehizelne Glied des Gleichungspolynoms den entspre- 

 chenden Punkt oder Platz construirt, so Jiat man zuletzt eine gewisse Anzahl von Punkten auf 

 der Ebene zerstreut, und imn verbinde man die äussersten dieser Punkte durch gerade Linien, 

 jedoch dermassen, dass ein geschlossenes Polygon mit lauter auswärts springenden Winkeln 

 entsteht, ausserhalb dessen kehi Punkt sich befindet. Die construirten Punkte liegen nun alle 

 entweder im Lnmern dieses Polygons oder auf seiner Begrenzung imd diese letzteren sind 

 entweder Eckpunkte des Polygones oder liegen auf einer Polygonseito. Mit Hilfe dieses Poly- 

 gones nun lassen sich alle Anfangsglieder der Wurzeln der Gleichung bildc]i und zwar sowold 

 in absteigender wie in aufsteigender Entwickelungsform. Will man cc absteigend nach Potenzen 

 von X entwickeln, so hat man nur jene Polygonseiten zu berücksichtigen, welche die obere 

 Begrenzung des in liede stehenden Polvgoncs bilden. Jede solche Polyo'onseite bezeichnet 



gewisse Glieder des Gleichungspolynomes, diejenigen nämlich, deren Punkte auf dieser Poly- 

 gonseite liegen oder ihre Eckpunkte bilden. Die Summe aller dieser Glieder '//a^ct;^, welche 

 einer bestimmten Polygonseite angehören, gleich XuU gesetzt, liefert eine partielle Glcichunt^ 

 und die Auflösung derselben nach x eine gewisse Anzalü von Anfangsgliedern. Die Auflösun<>- 



wiewohl sie Buchstabengleichungen sind , lässt sich ohne 



welche für junnerischc Gleichungen 



dieser partiellen Gleichungen , 



Schwierigkeit nach denselben Methoden bewerkstelligten 



gelten. Jede obere Polygonseite liefert eine solche partielle Gleichung und diese wieder ,f^'ewisse 

 Anfangsgiieder. 



/ 



^ 



* 



