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Ignaz Heger. 



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Dieise von ISFewton ano'eweiidete Constraction ist der Form nach wolil weseutlicL ver- 



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scliiedcn von der hier auseinandergesetzten, unterscheidet sich von ihr aber nur darin, dass ;c 

 und a die lioUe von c 'iiid rj übernommen haben. 



+ 



Später wurde die von Newton angOAvendete Methode: das analytische Parallelo- 

 gramm von De Gua in einer höchst unwesentlichen Weise modificirt und mit einem neuen 

 Namen: analytisches Dreieck belegt. Der Grund dieser Eeform Avar das ünricJitigc der 

 Benennung Parallelogramm. Die füiedor eines Gleiehungspolynomes werden nämlich, in der 

 eben früher angegebenen AVeise durch Punkte auf der Ebene bezeichnet, nur dann ein Paral- 



lelogramm formircn, wenn wdrklich alle Potenzen, a^, a. a 



; 



, w, 



; 



a^ mit x^^ x, x^ x 



=> 3 ^m 



in allen möglichen Weisen combinirt erscheinen. Würden nicht alle diese Combinationen, sondern 

 nur alle jene derselben erscheinen, welche die Gesammtgradzahl m nicht übersteigen, so würden 



ff 



diePunkte ein rechtwinkeliges Drei eck bilden. Dies Avar die Veranlassung zur neuen Benennung: 



analytisches Dreieck. Sie ist aber eben so unrichtig aa^c die frühere,, av eil die Punkte in 

 der Ebene jedes beliebige Polygon formiren können. , . ' . 



.Wichtiger waren die darauffolgenden Bestrebungen A^on Lagrange. Derselbe ersetzte die 

 erAvähnte Construction durch ein rein analytisches Vorfahren, Avelches Avir in §. 3 aus- 

 einandergesetzt und an einem Beispiele in Anwendung gebracht haben. ' Pliemit hätte dieses 

 Problem überhaupt seinen vollkommenen Abschluss gefunden, Avenn man eben nur den sein* 



sp 



eeiellen Fall einer einzelnen Buchstabcngleichung mit nur 



zAvei Buchstabengrössen zum 



Gegenstande gewählt hätte. Allein über diese Grenze hinaus A^crlieren alle bisiier erAvähnten 

 Methoden ihre Wirksamkeit. 



Fourier aber ging noch weiter und behandelte dieses Problem von dem allgemeinsten 

 Gesichtspunkte ausgeliend^ und verschaffte dadurch der von NcAvton und Lagrange für 

 einen sehr speciellen Fall entwickelten Methode den Höhepunkt der grössten Allgemeinheit, so 

 zAvar dass sie in gleicher Welse soavoU auf einzelne (Jleichungen aauc auch auf Systeme von 

 beliebitr AÜelen (Tleichunö-cn mit einer oder mit einer beliebig- £>'rossen Anzahl von überschüssi- 



o ö 



QQ^w Buchstabengrössen ihre AuAvendung verstattet. xVus den hinterlassenen Andeutungen dieses 

 grossen Mathematikers gclit hervor, dass derselbe zAvci neue Wege zur Behandlung dieses 

 Problemes gefunden hat. Erstlich nänüich eine geometrische Construction, Avelclie von der von 

 Newton angcAvendeten verschieden ist und auch über die Natur des Problemes ein neues 

 Lieht verbreitet. Sic Avurde von inis im Yorliergehcnden erörtert in ilirer AnAvendung auf den 

 In'er behandelten speciellen Fall einer einzigen Gleichung mit nur zAvei Buchstabengrössen «, x. 

 Dieselbe verstattet aber eine Verallgemeinerung auch auf andere Gleichungen und Systeme 

 von zAvci solchen, so lange die Gesammtzald der darin erscJieinenden Buchstaben die Zahl drei 



nicht übersteigt. Sie verliert aber gleichfalls ihre iVnAvendbarkeit A^oUkommen, sobald mehr 

 als drei Buchstaben erscheinen. Um nun aucli diese complicirteren Fälle. der Auflösung zugäng- 



lich zu machen, hat Fourier dieses Problem unabliäno-i 



^li»' 0"emacht v 



onj 



ieder geometrischen 



Betrachtung und ein rein analytisches Verfahren an seine Stelle gesetzt, welches auch selbst 

 über die Anzahl drei hinaus ins Unbegrenzte Giltigkeit hat. Dieses analytische Verfahren ist 

 Avesentlicli neu und, aaüc man mit Pecht behaupten kann^ selbst in seinen einfachsten Grundziigou 

 der bestehenden Analysis fremd, und Avurdc von ihrem Erfinder mit der Bezeichmmg: Analyse 

 der linearen üngloicliungen belegt. Diese bietet den allgemeinen Schlüssel fiir alle Buch- 

 stabcngleiehungen und Systeme von solchen. Alle früheren Bestrebungen A'OuNcAA^ton und 

 Lagrange sind eigendich nur eine sehr specielle Behandlung dieses allgemeinen Problemes. 



^^A f ^Jir^. 



