Ai(flösungsrnftho(le für aJgchraisclte Buclistahenglei.cimngen etc. 



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Die zuerst erAvUlmte , yoii Fourier LerrüLrende Constructlon liat auclikclncswegs den 

 Z^veck, wirklicli angCAA-eiidct zu ^yerdciij indem die analytisclie Bcliandlung weit bequemer ist 

 allein sie bereitet den Leser dureli die BetracLtung der speciellen Fälle vor zum besseren Ver- 

 ständnisse des complicirtcn Falles und seiner allgemeinen Bcluindlung mit Hilfe der Analyse 

 der linearen üngleicliungen. Von diesem Gesiektspunkte soll auch der Leser die im 

 Vorkcrgeh enden gegebene Darstellung betracliten^ um sich keinen irrigen Begriff von dem 

 AVertlie der von Fourier lierrülirendeu Arbeiten zu bilden. 



§ 



\- 



o. 



Wir wollen nun die Bestimmungsgleiekung für den Cocfficienten h^ noch einer genaueren 

 Betrachtung unterziehen und daran einige für .die Folge Avichtige Bemerkungen knüpfen. 



Diese Bestimmungsgleiekung leitet sich ab aus gCAvissen Gliedern des Gleichungspolynoms, 



zu dem höchsten Gliede des 



c, 



denjenigen nämlich, Avclchc für den bestimmten Wertli von 

 Substitutionsresultates einen Bestandtheil liefern. Diese Gleichung ist in der Eegcl einem 

 höheren Grade ano-chörio-, aa^cü in ihren Gliedern die Unbekamite h. zu denselben Potenzen 

 erhoben erscheint, Avie die Unbekannte x in den entsprechenden Gliedern des Gleichungspoly- 

 noms. Ist die ursprünglich gegebene Gleichung P=o ganz und rational,' so ist es auch diese 

 Bestimmungsgleichung für A„ und liefert daher in der Bvcgcl so Auele Werthe dieser Grösse, als 



ihre Gradzahl Einheiten enthält. Unter diesen Auflösungen können alle jene, welche von Null 

 verschieden sind, als brauchbare Coefficicntenwerthe angenommen Averden nnd es ergeben sich 

 auf solchö "Weise eben so viele verschiedene Anfangsglieder, entsprechend der gefundenen 

 Gradzahl Co? als diese Bcstimmungsgleichung von Null und von einander verschiedene 

 Auflösungen zulässt. Sehr oft treten aber mehrere Nulhverthe für h^ auf, und zAvar jedesmal 

 dann, Avenn nocli ein kleinerer Wcrth von'l^^ besteht. Die Anzahl dieser NullAverthe h^^ welche in 

 einer gleichen Anzahl Factoren It ihren Grund hat, Avelche iui ersten Theile der Bestimmungs- 

 gleichung erscheinen, kommt dann stets gleich der Anzahl der Auflösungen, welche mit einem 



niedrigeren significativen Gliede bei der Eeihenentwickelung beginnen. Nur Avenn Co unter 

 allen mödichcn AVerthen den kleinsten besitzt, Aveist die Bestimmungsgleichung in h keine 



Nullwurzeln auf. Von irrösserer Wichtio-kcit als die Nulhvurzeln, ist für die Avirkliche Auf- 

 lösung die Berücksichtigung gleicher Wurzeln /?,. Zeigt die Gleichung in h solche gleiche 

 Wurzeln, so schliessen Avir hieraus auf ein. Anfangsglied, Avelches zwei oder mehreren Auf- 



lösungen gemcinsehafdich zukommt, Avie die späteren Untersuchungen darthun Averden. Die 

 Anzahl dieser im Anfano-?o-liede übereinstimmenden Auflösungen Avird durch die Anzahl der 



O "O 



deichen AYurzeln am>-eo'eben. Dass das Auftreten solcher Reicher Wm^zeln h^ Avirklich zAvci 



ö 



ö^o 



lied <2'emeinschaftlich besitzen. 



O / 



oder mehrere Auflösungen anzeige, AYelche dasselbe Anfangsg 



Averden Avir erst später nachzuAvelson im Stande sein, avo Avir zeigen Averden, dass man bei der 



Bestinnnung der Fol^-eglieder entAveder zu dem einen x^nfangsgliede mehrere Systeme von 



o^ö 



Fob'codiedern. oder zu dem einen Anfano-sdiede nur eine einzia-e Bcilie von Folgegliedern 



Ö^Ö 



ö'^ö 



oder Avenigstens ama geringere Anzahl solcher findet, die aber alle durch Gleichungen höheren 

 Grades mit P-leichen Wurzeln o-eo-eben sind. Ln ersten Falle bestehen also AAurklich mehrere 

 Auflösungen, die dasselbe Anfangsglied gemeinschaftiicli besitzen, und die sich erst in den 

 Folgegliedern von einander unterscheiden, im zweiten jedoch lässt sich erAvcisen, dass diese 

 einzige Auflösmm- nicht nur der Gleichung- Pi=^ o, sondern auch einer oder mehreren der daraus 





