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Ignaz Heger. 



abgeleiteten, nämlich, den -: 



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dx 



stellt ist, dass / 



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= u. s. w. Genüge leistet, womit der Beweis Iierge- 



gleiclie Wurzeln besitze. Das Auftreten glciclier Wurzelwertlic für li^ 

 hat auch, wie wir später zeigen werden^ auf die Bestimmung' der Folgegiieder Einfiuss. 

 Während sonst jedes derselben durch die x\nflösung von Gleichungen des ersten Grades erhal- 

 ten wird, ist hier die Auflösung einer Gleichung höheren Grades erforderlich, deren Gradzahl 



mit der Anzahl der gleichen AVurzeln. h 



übereinstimmt. Diese Gleichung höheren Grades 



liefert zu dem gemeinschaftlichen Anfangsgiiede li^a^'^ die zugehörigen ersten Folgcgliedei 



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b 



ö^ö 





Ji^a-' und zwar entweder deren mehrere und von einander Yerschiedene, oder es ergeben sich 

 unter ihnen wieder gleiche. Sobald nur von einander A-erschiedcnc Folgegiieder und keine 

 gleichen mehr erlialten werden, ist jede einzelne Auflösung gesondert, nur gescliieht dies nicht 

 durch das Anfangsglied, sondern erst durch das zweite Glied der Entwickelung, und das weitere 

 Verfahren zur Bestimmung der übrigen Glieder ist jetzt das gewöhnliehe, beruhend auf der 

 Auflösung von Gleichungen des ersten Grades. Sind jedoch unter den erhaltenen Folge- 

 gliedern gleiche, begründet in dem Auftreten gleicher Wurzeln li^ ; so sind die ihnen entspre- 

 chenden Auflösungen x noch nicht getrennt imd die weitere Bestimmung der Folgeglieder 

 hängt noch von einer Gleichung höheren Grades ab. Auf solche Art bewirkt das Auftreten 

 gleicher Wurzeln Iiq eine Veränderung des Aveiteren Approximations-Verfahrens, welches sich 

 erst dann in das gewöhnlicJm verwandelt, wenn durch Bestimmung einer hinreichenden An- 

 zahl von Anfano:sixliedern der Reihe die Trennung' der Wurzeln x erfol^'t ist. 



Da wdr über die Beschaffenheit der Exponenten a und ^ in den einzelnen Gliedern des 

 Gleichungspolynomes keinerlei Beschränkung getroffen haben, mid daher unsere Untersuchun- 

 gen auch für gebrochene und irrationale solche Grleichungspolynomc gelten, so müssen wir 

 auch bezüglich dieser, besonders der letzteren einige Bemerkungen folgen lassen. Erscheinen 

 nämlich unter den Exponenten ^ auch gebrochene Zahlwerthe, so kann es sich treffen, dass die 

 Bestimmungsgleichung in h irrational ist, uind ihr gelegentlich gar keine Auflösung zukommt, 

 weil man verhalten ist, die Wurzelgrösse in ihrer bestimmten Bedeutung zu nehmen, keines- 



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wcgs aber die Berechtigung besitzt, ihr alle möglichen Bedeutungen zu ertheilen, oder mit 

 andern Worten, die entsprechende rationale Gleichung in allen ihren Auflösungen zu benützen. 

 In einem solchen Falle lässt sich daher wohl ein den Bedingungen entsprechendes Co? ^^bcr 

 kein Werth von h^ auffinden, und es besteht demnach für diesen Werth von c^ keine Auflösung 

 X, Wir gelangen auf solche Weise zu der Einsicht, dass irrationale Buchstabenglcichungen 

 mitunter keine Auflösung zulassen^ genau so wie dies bei den irrationalen Zahlenglcichungen 

 der Fall ist. 



§• 6. 



Die allgemeine liegel 

 lung ist sonach folgende: 

 nach Potenzen von x, d. h. man bringe dasselbe auf die Form: 



zur Bestimmung der Anfangsglieder für die absteigende Entwicke- 

 Man ordne das Gleiclmngspolynom F in erster Instanz absteigend 



A^x^'^- Ä^x'' + A^x'' -h . . + A^x 



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o: 



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die Potenzen A-^^ A.^^ A^j 



A^^ aber ordne man gleichfalls nach Potenzen von a absteii^-end. 



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, \ 



Nun bilde man aus einem jeden solelien Bestandtheile: 



I 



A^x''" 



