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durch Division erlialten werden. Dies wird der gewöhnliclistc Fall sein. In spccicllen Fällen 

 jedocli kann es sicli treffen, dass ZAvei oder n:iehrere Auflösungen ein und dasselbe Anfangsglied 

 genieinscliaftlicli besitzen. Wir haben schon früher erwähnt, dass diese Erscheinung jedesmal 

 durch gleiclie Wurzeln li^ angezeigt werde, und werden diese Bcliauptung im Folgenden zu 

 erweisen Gelegenheifc finden. Für jetzt wollen wir nur bemerken, dass einem solchen, mehreren 



mehrere Systeme von Folge- 



Auflösungen gemeinschaftlich zukommenden Anfangsgliedo 

 gliedern zukommen werden, die übrigens in den ersten Gliedern mitunter übereinstimmen 

 können, so dass die vollständige Trennung der Wurzeln erst bei einem späteren Gliede 

 erfolgt; ja es kann sich treffen, dass die Gleichung P = o zwei oder mehrere gleiche Wurzeln 



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X besitzt und daher, wie weit man auch die Entwickclung treiben wolltOj niemals eine Trennung 

 dieser Auflösungen eintritt. Man ersieht hieraus, dass die Bestimmung der Folgcglieder in 

 gewissen Ausnahmsfällen wohl eine complicirtcre Untersuchung erheischen, in den gewöhn- 

 lichen Fällen jedoch eine sehr einfache Gestalt annclunen wird. Die Bestimmung eines Folge- 

 gliedes beruht gleichfalls auf der Bestimmung der Zahlwerthe zAveier Grössen, nämlich des 

 Exponenten ^ und des Cocfficicnten li. Die Bestimmung dieser beiden Grössen wird von der 

 Erfüllung gewisser Bedingungen abhängig "sein, deren Aufstellung keinerlei Schwierigkeit 

 unterließt. Diese zwei Grössen sind nämlich offenbar dazu zu verwenden, um im Substitutions- 



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achdem vermöge der zweckmässigen Wahl des Anfangsgliedes h^a^' die höchste 



Potenz bereits eine Eeduction auf Null erfahren hat, ein ähnliches Verschwinden auch bei dem 

 Gliede mit der nächst niedrTgeren Potenz von a herbeizuführen. Diesem Zwecke entsjjrechend 

 wird sowohl für q^ als für h^ ein bestimmter Zahhverth entfallen. Man kann die Erörterung 

 und neue Ableitung dieser Bedingungen ersparen und dieses Problem gewissermassen auf das 

 frülierc, nämlich auf die Bcstimmuug des Anfangsgliedes zurückführen. 

 Dies wird durch folgende Transformation gelingen: Setzt man 



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wobei unter x, das bereits bekannte Anfang-sg-lied einer Auflösung x, unter x jedocli die 

 Summe aller Folo-efflieder zu verstellen ist, und substituirt nun diesen AVertli anstatt x in das 



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Gleicliungspolynom P; so geht Licraus eine neue Gleichung hervor, welche anstatt der Unbe- 

 Ivamiten x die neue unbekannte x enthält. Da nun x' offenbar die Summe aller auf x» folgenden 

 Glieder bedeutet, so wird das Anfangsglicd von x' eben das gesuchte Glied k,a'' sein/ Man 

 wird also nach dem bereits bekannten Verfahren nur das Anfangsglicd von x' aus dieser neuen 



Gleichuno- zu bestimmen haben, um zu dem gewünschten Ziele zu gelangen. Auf solche Weise 

 nun wäre durch eine leicht ausführbare Transformation der Gleichung i^= in eine andere, 

 mid durch Aiiwendung der früher exponirten zur Bestimmung des Anfangsgliedes dienenden 

 Hegel unser vorliegendes Problem zur Lösung gebracht, denn genau so, wie die einmalige 

 Transformation von x in x zu dem zweiten Gliede 7i^a'^ führt, Avird eine nochmalige Wieder- 

 holung dieses Yerfahrcns, jetzt aber auf x angewendet, das dritte Glied liefern u. s. w. Allein 

 wir werden bald seheii, dass, wiewohl die angegebene Transformation allerdings zum Ziele 

 führt, mit der Angabe derselben noch keinesAvegs das Problem vollkommen erledigt sei, imd 

 ^war aus folgenden zwei Gründen: Erstens zeigt sicli, dass die transfornnrte Gleichung nach 

 x' von demselben Grade sei, aa-Ic die gegebene nach x, und man AAdrd denmach bei der Bestim- 

 mung- des Anfano^sodiedes von x nicht ein einziges solclies, sondern deren mehrere und in der 



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Hegel von einander A^erschicdeno finden, Avährend der Natur der Sache nach, docl 



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