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Ignaz Heger, 



einziges derselben das gesuchte Folgeglied li^a^' vorstellen kann. Zweitens: Abgcselien von 

 dieser Vieldeutigkeit, welclie sich bei der Betrachtung der gefundenen Anfangsoücdcr von x' 



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ohne alle Schwierigkeit von selbst beheben würde, so dass dann kein Zweifel mclir obwaltet, 

 welches derselben eigentlich das gesuchte Glied \a^' ist, so hängt dieser Verüihrungsweise 

 eine Anzahl von unnützen Eechnungen an, ein Nachtheil, der hier viel fühlbarer ist, Aveil sie 

 sich bei der Bestimmung eines jeden einzelnen Entwickelungsgliedes wiederholen. AVenn daher 

 bei der früher gelehrten Bestimmung der Anfangsglicder von x die mögliche Vereinfachung 

 des Verfahrens vielleicht als eine ziemlich unerspriessliche Arbeit angesehen werden könnte, 

 so gilt dieses keineswegs hier, wo sich die unnützen Eechnungsoperationen bei jedem einzcl- 

 neu Gliedo wiederholen, und daher' bei Vermeidung derselben die Ersparniss bedeutender und^ 

 so zu sagen, für die praktische Ausführbarkeit unerlässlich ist. Wir können daher mit der 

 Angabe dieser Transformation und der IliuAveisung auf das bekannte Verfahren zur Bestim- 

 mung der Anfangsglieder das Problem keineswegs als erledigt, sondern eben nur als in den 

 allgemeinsten Grundzügen angedeutet betrachten. 



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Der zuerst erwähnte Punkt, der einer Aufkläruno- bedarf, betrifft die dem x anhäna'cnde 

 Mchrdeutia'keit. Diese Mehrdeutiii'keit findet in der Substitutionsödeichuno- 



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ihre Erklärung, denn diese Gleichung besagt keineswegs, dass x' eben jene Summe von Polge- 



gliedern bedeute, die wir zunächst darunter zu verstehen geneigt wiiren, sondern überhaupt 

 einen x^usdruck, der, zu x^ addirt, einen Genüge leistenden Werth x der Gleichung P ^ 

 liefert. Da nun nicht ein einziger solcher Werth von a;, sondern deren mehrere und meist von 

 einander verschiedene bestehen, so werden auch eben so viele und gleichfalls von einander 

 verschiedene x' vorhanden sein, und es darf daher nicht überraschen, dass die transformirte 



Gleichung nach x' dieselbe Gradzahl, wie die ursprünglich gegebene P 



nach x ausweist. 



Da wir aber nicht beabsichtigen diese Zusätze x' zu suchen, sondern von ihnen eben nur jenes 

 X zu kennen wünschen, welches wdr ursprünglich darunter meinten, und das die Summe der 

 zu dem bereits gefundenen x^ gehörigen Folgeglieder darstellt, so sind wir verhalten, diese 

 Erklärung auch in unsere Pechnung einzuführen und nur eben dieses specielle x in seinem 

 Anfangsglicde hja^' zu bestimmen. Dies wird dadurch geschehen, dass wir zu der Substitutions- 

 gleichung noch eine fernere Bedingung liinzufügon, durch welche dem x jene ]\rehrdeutigkeit 

 benommen und dasselbe auf eben jene specielle Bedeutung zurückgeführt wird, und zwar 

 dadurch, dass wir erklären, x sei ein Ausdruck von niedrigerem Grade nach a, als x^^. Wir 

 werden daher die Ungleichung 



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noch zur Substitutionsgleichung ^'^ 



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Es ist Avolil leicht einzusehen, dass nur unter dieser Bedingung die Summe der Glieder 



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nach absteigenden Potenzen von a geordnet erscheinen wdrd, während alle übrigen x\ die mit 

 einem grösseren c in ihrem Anfangsgliede versehen sind, sich dem Xq nicht rückwärts anfügen 

 lassen, ohne der bei allen unseren Untersuchungen geltenden Ordnungsweise zu widersprechen. 

 Diese hinzugefügte Bedingung bewirkt daher die beabsichtigte Abscheidung des eigentlich 

 gemeinten Folgegliedes von den übrigen Zusätzen x\ die keine weitere Berücksichtigung 



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