lYx ^■A-v_-i-T^ __v_ _, -r x^" -^y- ^ -y- V- I 



*rV-^ 



-*. T^-i 



-^wpj -t*^Jj-H-^ v'^' V'-'-^-^nJ^r ^-. 



JT - j— 



AT ■ ^ 



T-J- T . ■ J ■-■■^^u.- j-^ .vxx- ,y , .^ . 



-Xtf 



^^^-_ 



Auflüsiing.wietliode für algehraisclie BuclisfahcngUicliungen etc. 



141 



A^'erdieiien. Diese Bedingung besagt, dass man die mittelst der Substitution (3) abgeleitete trans- 

 formirte Gleiclmng nicLt in Bezug auf alle ihre Anfangsglieder zu untersuclien habe, sondern 

 dass diese Untersuchung- nur auf einen beschränkten Bereich der Werthe von c' auszudehnen 

 sei. Wir werden daher bei der transformlrten Gleichung die Constraction der gebroclienen 

 Linie, um die es sich bei der Bestimmung der Anfangsglieder bekanntlich handelt, nicht in der 

 vollen Ausdehnung der Abscissenaxe ^ vornehmen, Avie dies früher der Fall war, sondern wir 

 werden uns auf ein bestimmtes Gebiet beschränken, gegeben durch die Ungleichung: fo> f'. 



=^ — cx) l)is c = Cn und nur in dieser Ausdehnun 



Dieses Gebiet erstreckt sich von q, 



S 



werden wir die gebrochene Liuie entwerfen, weil nur in dieser Ausdehnung brauchbare Werthe 

 für Ci erhalten werden können. Nur in dieser Ausdehnung Avird die Bestimmung der Anfangs- 

 glieder von x' etwas Neues leliren in Bezug der Auflösung .t, während, wie wir gleich zeigen 



werden, in dem übrigen Bereiche der Werthe c eine solche Untersuchung ]iur Bekanntes liefern 

 könnte. In der That sind durch die vorherii'eirano'ene Untersuchuno- die verschiedenen Auflösun- 



o o 



gemeinschaftlich 



gen X, welche der Gleichung r:::=0 entsprechen, m Uiven Anfangsgliedern bekannt. Auf solche 

 Weise sind alle jene Auflösungen, welchen das Anfaugsglied XQ = h^a^' 



zukommt, geschieden von allen übrigen. 



Füo-cn wir nun zu den verschiedenen Auflösungen x das Anfangsglied x^ mit entgegen- 



gesetztem Zeichen hinzu, so 



verAvandeln sie sich sämmtlich in die entsprechenden x'. Bei dieser 

 Verwandlung zeigen nun jene Auflösungen x, welche das Anfangsglied x^ besitzen, ein ganz 

 verschiedenes Verhalten von den übrigen, wekJmn es nicht zukommt. Bei den mit dem Bestand- 



Xq den 



theile x^ verselienen Auflösungen x wird der subtractiv hinzugefügte Bcstandtheil — 

 gleichen positiven heben, und das Übrigbleibende ist die Summe der auf x^ folgenden Glieder, 

 die sämmtlich nocli unbekannt sind. Ilino-eo-en bei den anderen Auflösuno;en x, welche den 



O^Ö 



Bestandtheil x^ gar nicht besitzen, wird ein solches Aufheben nicht stattfinden. Ist nämlich das 

 Anfangsglied von, x mit einer höheren Potenz von a versehen, als das Anfangsglied x^^ so 

 wird dieses erstere zugleich auch dem x angehören. Findet das Entgegengesetzte Statt, so 

 beginnt x mit dem Anfano-so-liede x.. Es kann sich aber auch treffen, dass das Anfangsglied 



Ö"G 



von X und x^ mit derselben Potenz von a aber mit verschiedenen Coefficienten versehen sind^ 

 dann beo-iimt x' mit der Differenz dieser beiden Anfangsolieder. Das auf solche Weise her- 



vorgehende x! besitzt somit entweder dasselbe Anfangsglied, Avie das in Eede stehende x, oder es 

 beginnt mit — x^ oder endlich mit der Differenz beider. Wir ersehen hieraus, dass die Anfangs- 

 glicder von x' bei allen Auflösungen x^ Avelchen der Bestandtheil x^ in ihrer absteigenden 

 Entwickelungsform niclit zukommt, bereits bekannt sind, und dass demnach auch die über den 

 Bereich c < Co ausgedehnte Bestimmung der Aufangsglieder in der transformlrten Gleichung 

 nichts Neues lehren könne. Wir gelangen auf solche Weise zugleich zu einer Vereinfachung 

 der Untersuchungsmethode, indem wir schon im Voraus gCAvisse Untersuclmngcn beseitigen, 

 vo]i denen Avir Avissen, dass sie nur Bekanntes liefern, und überhaupt eine strenge Grenze auf- 

 gefunden haben, wie weit sie auszudehnen sei. Mit dieser Begrenzung der Untersuchung 

 ist noch ein weiterer Vortheil und eine nicht imbedeutende Vereinfachung der Eechnung ver- 

 bunden, da es nun gestattet is.t, nur einen Thcil der transformirten Gleichung zu berücksichti- 



und die übrir»-en Glieder unberücksichtigt zu lassen. Es Avird folglich auch gestattet 



gen, 



sein, nur eben diesen Theil der transformirten G-leichung zu bilden; denn bekanntlich zerfällt 

 man bei der Bestimmung der Anfangsglieder die Gleichung in Theile, und zielit aus einer 

 solchen Partialgleichung das gesuchte Anfangsglied. Es Avird daher überüüssig sein, zur 



L 



l 



T 



. 





I 



l 



V^±U•A^J-^r<^ fJi—ri i^ 



