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Ignaz Heger, 



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Bestimmung des Folgegliedes //,a^' die transformirtc Gleichung in x'' vollständig zu entwickeln, und 

 vielmehr hinrcichcnj nur jene Partialglcichung zu bilden, aus der li-^a^^ gezogen werden kann. 

 Wir sehen alsOj wie durch die Beseitigung der Mehrdeutigkeit von x zugleich der zweite 

 angeführte Punkt, nämlich die möglichste Vereinfachung des llechnungs Verfahrens, wenigstens 

 bis zu einer gewissen Weite hin seine Erledigung findet. 



. 8. 



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Wir haben bisher der Substitutionsfornicl 



3) unsere Aufmerksamkeit zuü'cwendet und 



lirecten Substitution von x^ + x' anstatt x in das Gleichungs- 



aus ihr alle unsere Schlüsse gezogen, die Bezug hatten auf die Anfangsglieder von x' . Wir 

 könnten nun auf dem We^-e der ( 

 polynom P die neue Gleichung in x' Avirklicli ableiten, und an ihr die Bestimmung- der 

 Anfangsglicder vornehmen. Es wn'irden sich dabei die eben gcnuachten Bemerkungen bestätigen. 

 Wir ziehen es aber vor, von der angegebenen Substitution und den auf solche Weise 

 abgeleiteten neuen Glciclmngen in x' ganz und gar abzusehen, und die Bestimmung der Folge- 

 glieder auf dem directen Wege, durch Substitution einer Reihe: - 



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x'j so wird, 



anstatt x abzuleiten, indem wir die Bedingungen erörtern, unter welchen die zweckmässige 

 Wahl der Wertlic von fj und h^ eine weitere Ecduction auf Null in dem Sabstitutionsresultatc 

 herbeiführt. Wir geben dieser Ableitungswcisc vor jener anderen, auf die Transformation der 

 Gleichung gestützte den Vorzug, weil einerseits sie die allgemeinere ist und eine deutlichere 

 Einsicilt gewährt, andererseits aber, weil man in der That niemals zur Bildung der trans- 

 formirten Gleichung in x zu schreiten Ursache fi^ndct. Unsere früheren Untersuchungen bezüg- 

 lich der Bestimmung der Anfangsglieder von x beziehen sich nämlich zunächst nur auf 

 Gleichungen von der Form /S'[//a"a:'*] = 0, wobei aber a und j; keineswegs ganze und positive 

 Zahlen bedeuten müssen; substituirt man aber in eine solche Gleichung x=^ x^ 

 wenn negative oder gebrochene Werthc von ;r erscheinen, die neue Gleichung diese Form 

 keineswegs mehr besitzen, so zwar, dass die früher gelehrte Bestimmungsweise der Anfangs- 

 glieder nicht mehr anwendbar erscheint. Man Aväre dadurcli bemüssigt, entweder solche mit 

 negativen oder gebrociienen Wörthcn von p versehene Gleichungen ganz aus der Betrachtung 

 streichen, oder die Bestimmung der Anfangsglieder früher auch auf andere Formen der alge- 

 braisclicn Gleichungen als die bisher betrachteten, auszudehnen. Wir finden uns veranlasst, 

 weder das eine, noch das andere zu thun, sondern ziehen es vor, den Untersuchungen jenen 



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Grad der Allgemeinheit zu lassen, den sie bereits besitzen. 



Der Weg, den wir einzuschlagen gedenken, ist folgender; 



Wir substituircn in das Gleich ungspolynom P anstatt x eine ßeihe, absteigend a'cordnet 



nach Potenzen von a, deren höchstes Glied Ä^a^" durch die frülieren Untersuchungen angegeben 

 ist, und deren zweites Glied li^a^' mit nocli unbestimmten Wertlicn li^ und c^ verschen erscheint. 

 Wir erhalten dadurch ein gewisses Substitutionsresultat, dessen höchstes Glied, zufolge der 

 getroffenen Wahl des Anfangsglicdcs ]i^a^% sich auf Null rcducirt und daher w^egfällt. Aber es 

 bleiben trotzdem noch von Null verschiedene Glieder übrig. Es soll nun angegeben w^erden, 

 w^elche Werthe von li^ und Ci in dem nunmehr mit der höchsten Potenz von a versehenen 

 Gliede eine Reduction auf Null lu^rbeiführen. Tlier ist stillschweigend die Bedingung f^ 





niedergelegt und wir w^erden daher auch 



nur das verlangte Folgeglied \cr^ erhalten, 



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