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I\II\^\ nämlicli, einmal nach li^ 7a\ differcntiiren und der so erhaltenen Summe 



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'x JTh^~^'\ noch 



den Factor Ä,a^^+^'"« ^^^ + ^^^ beizufügen haben. Wir haben oben o-esao-t, dass es in der Reo-el 



auf diese Weise gehngen werde 

 In der That wird meistcntheils 

 ehung 2'[//Ä/]^=zO entsprechend 



Wurzeln besitzt, und das erwäh 



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lll\^ '] von Null verschieden ausfallen, weil li, der Glci- 



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eben einen sohdicn ^deichen Wurzelwerth darstellt, so 



ist die ganze Eeihe der früheren Schlussfolgerungen unzuhissig^ und sie erweisen nur, dass in 

 einem solchen spccicUen Falle nicht nur die höchsten Glieder von der Form ^V'a'+^'^« 

 sondern auch die der zweiten Form ;t:iZV~VzjLa''+^^o-eo+fi gf^j-^ aufheben. 



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Diese Möglichkeit des Auftretens gleicher Wurzeln \ ist es, die unsere folgenden Unter- 

 suchungen in einem nicht geringeren Masse compliciren und uns zur Unterscheidung sehr Aneler 

 Ausnahmsfälle zwingen wird. Wir werden mit dem einfachsten Falle be<?innen, nämlicli wo lu 

 nur eine einfache Wurzel darstellt^ und eine gewisse Eegel für die Auffinduno- des Folo-e- 

 gliedes li,a^i ermitteln. Diese Eegel verliert ihre Giltigkeit, wenn \ eine doppelte AVurzel ist, 

 und es tritt an ihre Stelle eine neue Eegel, die gleichfalls unbrauchbar wird, Avenn \ eine 

 dreifache Wurzel bedeutet u. s. w. Daraus, dass hier sehr viele einzelne Ausnahmsfälle vor- 

 kommen, und jeder derselben eine eigene VorfahrungSAveise erheischt, möchte man wohl im 

 Voraus mit einer gewissen Peinlichkeit dem nun Folgenden entgegen sehen. Allein der Leser 

 wird sich überzeugen, dass diese verschiedenen Eegcln nicht so heterogen seien, dass eine jede 

 derselben einzeln dem Gedächtnisse eingeprägt Averden müsste; sie Averden im Gegcntheile 

 eine grosse Ähnlichkeit besitzen^ und sich in eine einziö-e, allo^emcin mltii>-e Eeo-el vereinio-en 

 lass 





en. 



Beginnen Avir also mit dem gCAvöhnlichen und einfachsten Falle, wo Z-, eine einfache 



Wurzel der Gleichung 



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2' [////] = 



bedeutet und daher l{in\'~^\ von Null verschieden ausfällt. In einem solchen Falle ist, wie 

 wir gezeigt haben, das durch Summirung der verschiedenen zweiten Glieder (7) hervorgehende 



höchste Glied folgendes : 



/2i2Tj://V-^a''+^fo-fo + f 



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wobei die Summirung auf dieselben Combinationen x und II auszudehnen ist, Avie in der bereits 



bekannten Gleichung 2" [//A'] = 0. Nun liegt uns noch eine zweite Untersuchung ob, 



namhch zu entscheiden, welches von denjenigen ersten Gliedern JI\^ .a'-^'^' das höchste 

 seiner Gradezahl nach sei, nachdem man die bei der Summirung sich tilgenden beseitigt hat. 

 Man wird dazu ohne alle SchAvierigkeit gelangen^ indem man das bereits bekannte Anfangs- 

 glied h^a^' in das Glcichungspolynom P anstatt x substituirt und alle dabei möglichen Eeduc- 

 tionen ausführt. Auf solche AVeise findet man das höchste Glied, Avelchcs Avir mit S;,^ct^^^ anzei- 

 gen Avollen, und kann nun versichert sein, dass das höchste von Null verschiedene Glied des 

 Substitutionsresultates nur aus den zwei Gliedern 



.§0«^^^ und ]i,l[xllh 



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'-^ßO + 'f» 



fo+ ^'1 I 



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herA^orgehen könne, Aveil alle übrigen, Avie immer aussehenden Glieder erwiesener Massen von 

 niedrigerer Ordnung sind. Jetzt ist es nicht scliAver, die Bedingungen anzugeben, welche die noch 

 unbestimmt gelassenen, mit \ und Ci bezeichneten Grössen zu erfüllen haben, um eine fernere 



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