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Aitfl'ösungsmetJiode fllr algebraisclie Buchst ab engleicliungen etc. 



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Es zeigt sich also, dass in diesem geAvöhnliclien Falle nur ein einziges Folgeglied 

 erhalten wird. Wir sehen zugleich, dass die Bildung der transfoniiirten Gleichung, so wie eine 

 nähere Untersuchung derselben ganz überflüssig sei und durch ein viel einfacheres Verfahren 

 ersetzt werden könne, Avelchem weder die Mehrdeutigkeit des x'^ noch ein complicirtes Eech- 

 nungsverfahren als Nachtlieil anhängt. "Wir bemerken auch ferner noch die grösste Ubereinstim- 

 munrr dieser Eca-el mit der bekannten Regel der Division und des Wurzelausziehens, eine 

 Übereinstimmuno-, die wohl im Voraus erwartet werden konnte, weil diese beiden Eegeln nur 

 eine specielle Anwendung auf binomische Gleicliungen des ersten und liölieren Grades vor- 

 stellen. Das hier angegebene Verfaliren ist so lange fortzusetzen, bis endlich alle Glieder 

 der Auflösung x gefunden sind. Sind dieselben wirklich in einer endlichen Anzahl vorhanden, 

 so wird dieses Verfahren das Nullsein aller folgenden Glieder ohne Schwierigkeit erkennen 



lassen ; es wn 



ird nämlich bei der Substitution der Summe derselben das Gleichungspolynom P 

 identisch auf Null zurückziehendes Polynom vorwandeln, womit einerseits 



sich m ein i 



erwiesen ist, dass die Summe dieser Glieder ein Genüge leistender Werth x sei, und anderer- 

 seits die fernere AViederholung nur Null liefern könne. Dass aber ein solches Abbrechen der 

 Reihe nur zu den speciellen Fällen gehört, unterliegt w-olil keinem weiteren Zweifel, weil 

 dann ausserdem noch alle Coefficicnten der nächst uiedrigcren Potenzen von a den Werth 

 Null erhalten müssen. Dieses Nullwerden derselben kann nicht durch Wahl der Coefficienten 

 h und der Exponenten f erzielt werden, weil über ihre Werthe schon verfügt ist, trifft aber bis- 

 weilen in Folge der zwischen den mit H, a, ]i bezeichneten Grössen zufällig bestehenden 

 Relationen ein und in einem solchen Falle bestellt dann ein solcher Genüge leistender Werth 

 in geschlossener Form. In der Regel jedoch ist dies nicht der Fall und das Verfahren kann 

 daher keine solche geschlossene Form, sondern nur eine unendliche Reihe liefern. 



. §. 9. 



Wir übero-ehen nun zur Erörterung des zunächst liegenden Ausnahmsfalles, für welchen 

 das eben dargestellte Verfahren brauchbar zu sein aufhört. Die Brauchbarkeit desselben, so wie 

 die Giltigkeit aller vorhergehenden Schlüsse ist an die Bedingung gebunden, dass das Sub- 

 stitutionsrcsultati'[;i:i7V"^] einen von Null verschiedenen Werth besitzt, mit anderen Worten, 

 dass Ji, eine unwiederholte AVurzel der Bestimmungsgleichung I[IIh,'] = ist. Stellt sich heraus. 



dass diese Bedingung nicht erfüllt ist, sonderngleiclizeitig beide Grössen r[i7/V] und2'[p7ZV-'] 

 verschwinden, folglich k, als eine wiederliolte Wurzel' der Bcstimmungsgleichung 2'[///^/] = 

 erscheint, so verlieren alle früheren Schlüsse ihre Giltigkeit, und man Avürde beim Einschlagen 

 des früheren Verfahrens lauter unendliche AVerthe für die Coefficienten Äj, k,.... erhalten. 



Hier sind abf 



iY \^ 



doder mehrere Fälle zu unterscheiden, je nachdem nämlich \ eine 

 doinielte oder dreifache, oder endlich eine mehrfache Wurzel ist. Den einfachsten dieser ver- 

 schiedenen Fälle wollen wir hier zunächst zum Gegenstande der Untersuchung machen, jenen 

 uändich, wo h, eine doppelte Wurzel der Bestimmungsgleichung I[II]i,']=^0 ist. Dieser Fall 

 ist dadun'hcharakterisirt,dass I[Hh,'] uiid2'[?:7//^o'^1glei ch Null, hingegen2[^(j-— Ij/ZÄ/-'^ 



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von Null verschieden ans'enonmien wml. 



Der eio-entliche Grund, wesshalb die früheren Schlussfolgerungen iJire Giltigkeit vor- 

 Heren ist in dem Umstände zu suchen, dass die Summe der zweiten Glieder des entwickelten 

 SubstitutionsresuJtates, welche aus den einzelnen Gliedern Ha'x' des Gleichungspolynomes in 

 der Form vTIh ' ~^h a''+^^« "^"'^^' hervorgelie]], nicht mehr" das höchste Glied: 



