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Aufl'ösimgsmetliode fllr algebraische Buchstabengleichungen etc 



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%^a^'' derselben. Hierauf unterwerfe man die Summe der bezeichneten Grlie- 



r 



der J[l/a^T^] einer z weimaligen Differentiation nacli x und substituire auck 

 bier in dem gewonnenen Ausdrucke ^[^'(x—l)//«^'^^'"'] das Anfangsglied h^a^^ 

 anstatt x und erhält so I[x{x—l)IIK"^]'^^'''^^"'"' Diese drei Glieder ^o*^'^"; l^o'^^ 



[x{x — l) nh^^~~]a'"-^'^'. multiplicire man nun b eziehungsw^eise mi't 1, x' und 



X' 



7 



bilde die Summe dieser drei Producte und setze dieselbe gleich Null; so hat 

 man die gesuchte quadratische Grlcichung und die Anfangsglieder der abstei- 

 genden Entwickelung von x sind die gesuchten Werthe des Folgegliedes 



Die an dieser quadratischen Gleichung vorgenommene Untersuchung der Anfangsglieder 

 der absteie-enden Entwickelun<>- von x' kann offenbar zu mehreren verschiedenen Fällen führen^ 

 die wir liier näher erörtern wollen. Man liat nämlich mit der Auflösung der drei Ungleichun- 



gen: 



Vi 



21 







J 



^ 



] 



% + e, , :y 



^0 



2^0 + 26, 



zu beginnen, und die Grenzwerthe der zweiten Ordnung dafür zu bestimmen. Eine solche 

 Untersuchung kann hier, w^o drei Ungleichungen vorliegen, entweder zwei oder nur einen 

 einzig-en solchen Grenzwerth liefern. Liefert sie zwei solche Grenzwerthe, so sind sie 



— * '* 



folgende: 



21 







% , X — ^0 + 2 ^0. 



Ist hin^'Cö'en ein einzi^-er p:ewonnen worden, so hat er den Werth: 



■ir>"'ö 



^ 





^ ', 



Die Bcstimmungsgleichungen für die zugehörigen h,, welche besagen, dass bei jeder' 

 solchen Reduction das Kesultat derselben ein Coefficicnt Null sein soll, sind : 



1. füi 



•f 



1 



3. für f, 



51 







X , ^ü + ^1 'f^o' = 0, also Ih 





7 *> 



2. für ^, = 5i;^^,4-2f, , h,S;^,'+^I[x(x-l)mr'] = ahoh,= 



%~Vo , ^ 



h 



3 



+ ? 



D 







4. für f , = 



«lo-^o 



f?o=-V-2to' ,.&ü+/^i-§o' 



2 



2$o' 



2'[f(f-l)m„>^-3] 



5t„^-21o' : ^o+i^[^{x-''^)I^h"']=0, also K 



+ 



*« 



S[x{p-i)in^x-2] 



''''i[x(x-i)inh"-']=o. 



f 



I 



Diese Gleichung liefert zwei in der Eegel von einander verschiedene AVerthe für A, 



Nur wenn zufällig die Bedingungen: 



'^o' 



2 



2S^,2[X(X—I)n:hr']^nid 



vlo Vo 









2{n— 5lo' 











erfüllt sein sollten, treten zwei gleiche Wurzeln h^ auf. Wir ersehen hieraus, dass man auf 

 solche Weise in der Regel zu zwei verschiedenen Folgegiiedern gelangen wird, die sich 



manchmal schon in dem Exponenten Ci unterscheiden, oder dasselbe ^^ zwar gemeinschaftlich 



cell die Werthe der Coefficienten h^ von einander verschieden sind. Nur sei te 



besitzen, aber dur 



"werden die zuletzt angefüJirten Bedingungen erfüllt sein, welche zur Folge hätten, dass nicht 

 ^wei verschiedene Folgeglieder, sondern nur ein einziges solches erhalten Avürde. Das hier 



