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Ignaz liege?' 



dargestellte Verfahren wird dalier in der Eegel die Trennung jener zwei Auflösungen bewerk- 

 stelligen, die das Anfangsglied li^ci^'' gemeinscliaftlicli besitzen, und nur ausnalnns weise dieselbe 



noeli auf später verschieben, falls sich auch das zweite Glied h^a^^ als ein beiden gemein- 

 schaftlich zukommendes erweisen würde. 



Der weitere Gang der Approximation ist je nach den hier sich darstellenden Ergebnissen 

 verschieden: Hat die Bestimmung des Gliedes h^aß' eine Trennung der zAvei Wurzeln, die 

 noch vereinigt waren, dadurch bewirkt, dass zwei verschiedene Wertho entweder für Ci oder 

 erst für li^ sich ergaben; so wird die weitere Approximation von einem älinlichen Verfahren 

 abhängig sein, wie bereits früher für solche Auflösungen exponirt wurde, deren Anfangsglied 

 ein isolirendcs war. Dort reducirtc sich die ganze Untersuchung nur darauf, den bereits bekann- 

 ten Bestandthcil von x in das Gleichungspolynom zu substituircn, das Sabstitutionsresultat 

 gehörig zu ordnen und nun das Anfangsglied desselben ^^ct^^' mit einem bestimmten Factor 



— — zu multipliciren. Jetzt wird das Verfahren zur Bestimmmiö: der übria'en Folo-e- 



glieder ähnlich sein. Nur der Factor ist erst näher zu bestimmen, da offenbar die frühere 

 Form desselben nicht gelten kann, w^cil sie einen Nenner Null ausweist. Erinnern Avir uns 

 jedoch, dass dieser Factor eigentlich der mit entgegengesetztem Zeichen genommene reciproke 



^ 



Wertli des höchsten Gliedes jenes Substitutionsrcsultates sei, welches durch Substitution des 

 bereits bekannten Bestandthcilcs von x in den ersten Diffcrcntialquoticntcn — hervora'eht, so 



^ dx ^ ^ 



wird über den.Wcrth dieses Factors kein weiterer Zweifel obwalten. Am einfachsten verfährt 

 man, wenn man sich denselben wirkücli durch Substitution zu verschaffen sucht. Es unterlica^t 

 jedoch auch keiner Schwierigkeit, denselben in Voraus anzugeben, nur ist seine Form in ver- 

 scliiedenen Fällen gleichfalls verschieden. 





Ist man jedoch zufälliger Weise nur auf einen 



einzigen Werth 



?. 



un 



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gleicJic 

 Wurzelwerthe h^ gestossen, so dient dies als Beweis, dass die Trennung der Wurzeln 

 m den zwei -ersten Gliedern der Entwickelung* noch nicht stattfinde, sondern diese beiden 



Auflösungen ^ejneinschaftlich 



aikommen. Man wird daher bei der Bestimmung der Folge- 

 glieder \a^'' in gleicher Weise verfahren, wie eben jetzt gezeigt wurde, d. h. man wird 



den erhaltenen Bestandthcil x 



h. a^" 







ersten Diflferentialquotientcn 



dl\ 



— setzen , 



dx 



\ cß' in das Gleichungspolynom P und seinen 

 und gelangt so zu den diesen Substitutionsresul- 



taten entsprechenden höchsten Gliedern, die wir mit S^^ a^' und |)/ a^^' bezeichnen wollen, 

 während der zweite Differentialquotient ^-^ erwiesenermassen ein mit dem Anfana'saiiede 



dx'^ 



ö'^b 



^[xix — l)IIh()'^^^]cc'''~"^' beginnendes Substitutionsresultat liefert. Nun stellt man die quadra- 



tische PartiaJgleichung: 



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x' ^ti «"'■ +■ ^S[x{v—l)irh,'~'] . a^»--f«^- 



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auf und bestimmt die Anfangsglieder von x nach der bekannten Methode. Die Ergebnisse dieser 

 Untersuchungen lassen die eben früher angeführten 4 verschiedenen Fälle zu. Sollte dies zur 

 Trennung^ der Wurzeln noch nicht hinreichen, so muss man auf diesem AVege so lange fort- 

 fahren, bis entweder die Trennung erfolgt, oder bis das Vorhandensein gleicher Wurzeln 



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erwiesen ist. Von demjenigen Gliede angefangen, bei dem die Trennung der A\ 

 erfolgt ist, ändert die Approximation 



Berechnung gelangt und an die Stelle der quadratischen Gleichung, Gleichungen des ersten 

 Grades treten. 



ihre Natur, iiulem nun jede Auflösung isolirt zur 





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