_ - -^X. -■__-" -_^ ^ _^ -r- - -_ 



-K 



Auflösungsinetliode für algehraisclie Bmhstabengleichungen etc. 



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. 10. 



4 



Wir wenden uns jetzt dem allgemeinen Falle zu, demjenigen nämlich, wo w Auflösungen 

 dasselbe Anfangsglied \ a^" gemeinscliaftlieli besitzen, d. h. wo /^o eine TO-ftiche Wurzel der 

 ßestimmune-sßieiehung-: 2'[/JV] = ist. Es bestehen dann die identisclien Gleichungen: 



-&"ö 







[x{x-i)IIK- 



] 







!■ [j: (y— 1 



■j._TO + 2) 7/ V 



— m-^-l 



] 



0. 



D.er Wertli von 



s[x{x--i) . . .ix-m-\-i)inr"'] 



ist jedoch von Null verschieden. In einem solchen Falle sind die früher angeführten Approxi- 

 mationsmethoden unzulässig, weil die ihnen zu Grunde gelegte Annahme und somit alle darauf 

 gestützten Folgerungen ungültig sind. Wir werden jedoch durch ein analoges Verfaliren zu den 



Folgegliedern gelangen. 



Wir substituiren nämlich Avieder den Ausdruck: . 



X 







X 



K «'^^ '\' K ^^' + 



anstatt x in die einzelnen Glieder des Gleichungsi^olynomes P und erhalten, weil zufolge der 

 lielation ^^ 



Co 



die folgende Keihe für x" gesetzt werden muss: 



X 



X 



■ 









O 



X 



j*-2 







X 



!■ 



,+ •■■+ (m-l)^O, 



t—m-\-\ 'm—l I 





X — m-\-l ^,m—i 



+ 



aus einem jeden einzelnen Gliede 1/a» a;' einen Ausdruck, wie der folgende: 



II a' X' = H a'' X,' + xHa'x,'-'x' + (l)IIa'Xo'-' x'' + . . • + {,:_,) II a'x, 



F 



Hier bedeutet x, das bekannte Anfangsglied li,a^% x' aber die Summe der Folgeglieder. 

 Der für x"" in der angeführten Form gefundene Werth ist eine reine Function von a, nur er- 

 scheint derselbe hier noch nicht geordnet, weil jeder einzelne Bestandtheil in dieser Summe 

 eine unendliche Eeihe bedeutet. Das höchste Glied ehier jeden solchen Ileihe ist mit Leiclitig- 

 keit anzu£reben. Es ist nämlich: 





2' 



, r 



ü 



-- k' . «'='» 



'ü 





•jj ^ 



. X-2 

 



X 



I ^ 





rfo-?(i+?i 



+ 



^ 



r-2 7, 2 .,r?o-2eo+2e, 

 '^1 • ^^ 



*■ 





■W+l^'Wi— 1 



X 



U.)h 



r— m-r 







''h, 



???— 1 ^r^o— ('^~l)(?fl— ?i) ^ 



X—m ^tm 



,n, h'""' ^?'i" • a''^»":"f^»-^'^ 



und folglich bedeutet auch jeder Bestandtheil der für Ila^'x" gefundenen Summe eine unendliche 

 lieilie, die in entwickelter Form folgende höchste Glieder besitzen: 



Ila^x" 



II\^ . a'^+'^» 





X>enksciiriften der raathcm.-naturw. CJ. XII. lid. Ablianclb v. Nichtniitg]. 



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