Äuflosungsmetliode für algebraisclie BucJistahengleicliungen etc 



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der zweiten Gru])po abgeleitet wird durcli Substitution von x^ anstatt x^ und demnach jedenfalls 



ein Ausdruck von folgender Form : 



91 







a 



?:co 



P^o, 



wo a und ^ eine Combination von WertLcn darstellt, die einem Gliede der zweiten Gruppe 

 angehören. Setzen wir diesen Werth in die (15), so ergibt sieh die Eelation: 



^0 



m 



^0 



^ 



C 



j 



51 



Ü 



fjPCi, 



welche besagt, dass der Exponent von a im Grliedc Ä/|)o^^'^a^""''*-"^+^^' kleiner sei, als in 



h^^ 



1 . . . m 



^^(1— m(6o— ?i) V 



[x(r^l) . . . (x^-m-h Iji/Ao^-™] . 



4 



. Es ist somit dargethan , dass diese Glieder alle nach a von niedrigerer Ordnung sind, 

 und daher bei der Bildung des höchsten Gliedes unberücksiclitigt bleiben können. 



fr 



Fassen wir nun im Kurzen die Ergebnisse unserer Untersuchungen zusammen, so ersehen 

 wir, nachdem, im Sabstitutionsresultate P das allerhöchste oder vielleicht auch eine Eeihe der 

 nächstfolgenden höchsten Glieder diirch die zweckmässige Wahl von ^^ und Ji^ sich auf Null 

 reducirt hat, dass das nunmehr höchste Glied desselben nur aus folgenden 77i Gliedern entstehen 



kön 



ne: 



^0««» , /^,^o'«''«'+f' , /V |)„" a^""+-'^S . . . Ä,™-' ^o^"^'^ «''"'"'"''+""-'^^' 



1 . . . m 



hr 2[xix—l) ■ ■ ■ (T^m + 1) Ilh 







X—m ^.r.o—m{^ü~-^i 



a 



]■ 



Die m zuerst aufofeführten Glieder wer 



:den durch directe Substitution von x = li^a""^ 



erhalten und gehen aus den Gliedern der zweiten Gruppe 2^[IIa''x''] und ihren successi- 

 ve]i nach x genommenen Differentialquotienten: (^ [x II cf x''~'^] ^ ®[x{x — l) II a"" x'~^^] , . . . . 



e[?:(^--l)(p- 



iL! 



^ — m -{- 2) Ila^ x^~'"'^^] hervor; das zuletzt angeführte aber lässt sich ohne 



alle Substitution blos nur aus der Bestimmungsgleichung für h^ ableiten auf eine unmit- 

 telbar ersichtliche Weise und gehört den GHedern der ersten Gruppe Illlct^'x'] an. Es han- 

 delt sich nun darum, für c^ und k^ die entsprechenden Zahlwerthe aufzusuchen. Diese Werthe 

 haben den Zweck zu erfüllen, das höchste Glied mit einem Cocfficienten Null zu versehen. 

 Zu diesen AVerthen führt eine bekannte Untersuchungsweise, die darauf beruht, ein System 

 linearer Ungleichungen aufzustellen und dann die Grenzwerthe der zweiten Ordnung für die 

 demselben entsprechenden Auflösungen aufzusuchen. Dieses System vonm-[-l Ungleichungeji 

 ist folgendes : 



V 



1 



'Ji 



^h 



f} 



1 



51 









91 



"T ^ ^1 





Das Resultat einer solchen Bestimmmig der Grenzwerthe zweiter Ordnun 



g kann sehr ver- 



schiedene Eigenthümlichkeiten darbieten, die für die weitere Approximation von Einfluss sind. Die 

 Anzahl der Grenzwerthe kann nämlich von Eins angefangen alle möglichen ganzen Werthe bis m 



