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Ignaz Heger, 



annelimen. Einem joden einzelnen aufgefundenen Grenzwertlic C| entspricht eine gewisse Bestim- 

 niunö-s0ioicliuno\ die die zui:i:eliörio'en Wertlic des CoefficientenÄ^ liefert. Diese Bestimmun£!'sodei- 



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chunglässt sich ohne alle Schwierigkeit ableiten aus denjenigen Gliedern der oberwähnten Reihe, 



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welchen die grössten linearen Functionen entsprechen, und kann dem ersten oder auch einem 

 höheren Grade angehören. Sicliefert daher zu dem einen Werthe Ci entweder nur einen oder mehrere 

 zugehörige liy. Diese Gleichung in li^ kann ausnahmsweise gleiche Wurzeln aufAveiseU; und dies 

 wird immer als ein Beweis angesehen werden können, dass die Glieder li^a^^ -\^ h^a^^ zweien 

 oder mehreren Auflösun^-en x a'emeinschaftlich zukommen. Diese Auflösuno-en unterscheiden 



b^: 



sich dann Yon einander in den zwei ersten Gliedern der Entwickelun^- niclit, und wenn ihre 



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Trennung bewerkstelligt werden sollte, so bedarf es noch der Bestimmung der dritten, viel- 

 leicht auch noch mehrerer Glieder der Entwickelung; ja es kann sich treffen, dass diese 

 Trennung niemals erfolgt, weil diese Auflösungen überhauj)t ganz gleich sein können. 

 Es ist wohl leicht einzusehen, dass die Anzahl der auf solche Weise gewonnenen Glieder 



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ödeichkommt der i\nzaJil m der eieichen Wurzeln li 



denn die Bestimmunof derselben 



ist eigentlich abliängig von der Auffindung der Anfangsglicder einer Gleichung von folgender 



Fo 



rm : 



16) 



r 



^0 «''» H- %>: «■"»' • X' + % 



o" «"»'■ 



. X'^ 4 



^ 







m—1) .M"'-n ^m^l 



a 



• *A^ 



+ 



+ 



1 . . . m 



2' [}: (p— 1 ) . . . (p-m + 1 ) // A 







x—m ^,7)Q~m^n ^,m | A 



. a 



. x"''] 



Avelche die neue Unbekannte x' enthält, und dem m''^' Grade angehört. Eine solche Gleichung 

 liefert stets entweder m von einander verschiedene Anfangsglieder h^a-^ für x' oder, wenn sie 

 deren weniger liefert, so besitzen die Bestimmungsgleichungcn für den Goefficienten h, gleiche 

 Wurzeln, und zwar deren so viele, dass sie die Anzahl m wieder vervollständigen. Wir sehen 

 also, dass wenn bei einem Anfangsglicde sich der Coefficient h^ als eine mfache Wurzel der 

 Bestimmrungsgieichung herausstellt, die weitere Approximation entweder hiezu m verschiedene 

 Folgcglieder liefert, oder deren weniger. Ersteres ist der gewöhnlichere, das zweite jedoch ein 



r 



specieller FalJ, begründet in dem Auftreten gleicher AVurzeln h,. Die Summe der Gradzahlen 

 aller Bestimmungsgleichungen für h-^ ist aber stets m. 



\ 



§ 



11 



Die bislierig-cn Unters udiungen haben nur die Bestimmung des Fol gegiiet! es h.a^i zum 



eil 



Gegenstande gehabt. Die gewonnenen Eesultate haben jedoch eine allgemeine Giltigkcit 



sie auch zur Bestimmung eines beliebigen Folgegliedes h,^^a^^-+^ dienen, wenn die Summe dei 



vorhergehonden Entwickclungsglieder, nämlich: . " 



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X. 



An a^' 



f h, a 



fi 



+ /^2«^' + - ■ . +/^.ß^^ 



bekannt ist. Es ist daher nothwendig, diese Untersuchungen nun 



auch in- ihrer vollen 



iDgemeinheit zu geben, naclidcm 



b 



wurden. 



sie bislicr nur in einem speciellen 



Falle eingeleitet 



Wenn die Gliedersumme x; den Beginn der auf r+1 Glieder ausgedehnten Entwickelung 



einer Wurzel x darstellt, so Avird sie sich offenbar durch Hiii zufügen der Eeihe: 



X 



K^, a 



?r+l 



h 



r+ 



a 



?r.L 



r-i^Z 



K+, a'''-' 



/ ' 



