Auflü-sungsmethode far alfjr^raisclie BiiclcHtaheiußcicliungen etc. 



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(44) 



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^r-|-2 



^r+2 



> 51,+/^-'^ + (^-1)^.+. 



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ZU berücksichtigenj Aveil die weiter gofülirte Untersucliung lauter dem 1,^, glclelie oder grössere 

 Wertlie liefertj die dem f,..^^ niclit ertlicilt werden können. 



In der That gelangt man nacl 



3t,. 



{t) 



J-+1 



9f (^+1) 



Q 



§[,+ i(0— 9tr+i(^+2) §r,.+ i(0— 9f.+ i.^-h3) 



; 



3 



Diese Quotienten sind zufolge der ßclatloncn 





8) und (39), -welche für v'y- i gelten und der 

 Gleichung (36) sänimtlich mindestens gleich oder grösser als c,+i, womit die ünbrauchbarkeit 

 der durch weitergcfüln*te Untersuchungen gewonnenen Grenzwerthe erwiesen ist. Man wird mit 

 dem Systeme von Ungleichungen (44) zur Bestimmung von c^.,^^ vollkommen ausreichen. Jedem 

 daraus abgeleiteten Wertlie von c,+2 entspricht mindestens Ein Werth von A,.^.. Die Anzahl der 

 von einander verschiedenen Folgeglicder /?v_^, ^^^'"^S die auf solche Weise gew^onnen werdcUj 

 kann aber niemals die Anzahl t übersteigen, und auch nie unter Eins fallen, weil die Bestim- 

 mungsglcichung für \^^^ der (22) ähnlich ist, und aus ihr durch Verwandeln von r in r-f-1 



<t. 



o 



5 O 



•clangt man zum nächstfolgenden 



hervorgeht. €[ und s sind ganze positive Zahlen und fi~\~s 

 In ganz gleicherweise, wie zuin Eolgegliede ]i,.j^.ya^'- 

 K^.xi^''+^ und zu den späteren. Es ergibt sich stets mindestens Eines, höchstens aber t an der 

 Zahl. Wir schliesscn hieraus, dass die hier auseinandergesetzte Methode allgemein giltig sei, 

 um zu der bekannten Gliedersumme x^, das nächstfolgende Glied zu bestimmen, und wir wären 

 auch überzeugt, stets mindestens ein einziges Folgeglicd zu gewinnen, "wenn nicht den hier 

 geführten Untersuchungen eine stillschweigend gemachte Annahme zu Grunde Tage. Es ist 

 nämlich bisher nicht bcAviesen worden, dass zu der Gliedersumme x^ mindestens ein einziger 

 unter c, liegender Grenzwerth für das System von Ungleichungen (19) und (20) bestehe, es 

 ist nur erwiesen, dass, wenn ein solcher sich wirklich vorfindet, auch jedesmal mindestens ein 



einziger Werth für h^_^, und A,+2«^''+S K+'^^^'"^^- anfgefunden werden könne. Diese Lücke 



im Beweise lässt sich aber durch die früheren Untersuchungen leicht ausfüllen. Es wurde näm- 



F 



lieh bei der Bestimmuno- des Folgegliedes Ji.a^t bewiesen, dass zu einem jeden Anfangsgliede 



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h^a^o immer mindestens ein einziges Folgcgiied k^a^'- aufgefunden werde. Die Existenz eines 

 unter c, liegenden Grenzwerthcs ist somit für r =- erwiesen und die eben jetzt beendigten 



Untersuchungen setzen seine Existenz auch für r ^ 1 . 2 ausser allem Zweifel, und wir 



gelangen dadurch zur Überzeugung, dass einem jeden Anfangsgliede wirklich mindestens Eine 



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Auflösung entsprechen müsse. 



8 1"^ 



Aus air dem bisher Gesa^ien ergibt sich folgende allgemeine und für alle möglichen 



o 





der ermittelten Giiedersumme x^ das darauffolgende Glied 

 aufzufinden: Ihm bestimme zuvörderst, ob der Coefficient h^ des zuletzt bestimmten 



Fälle passende Begel, um zu 



V 



