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Ignaz Heger. 



Gliedes h^a^'- nur eine einfache oder eine wiederholte Wurzel jener Bestimmimgsg-leicliung sei, 



aus der er gewonnen worden. Diese Untcrsnchung, welche nicht erst anzustellen sein wird, da 



sie eben ein Thcil der Auflösung der Bestimmungsgleichung ausmacht, führt nun zu einer 



bestimmten Zahl p, welche angibt, wie oft diese Wurzel A,. in der Gleichung erscheint. Nun 



setze man die bekannte Gliedersumme x,. an die Stelle der ünbok<n-nnten x im Gleichungs- 



polynome P sowohl, als in seine p ersten nach 'x partiell genommenen Differentialquotienten, 

 also in eine Reihe von Functionen: 



p , 



dx dx^ ' 



o * 



dpp 



dxp 



1 an der Zahl und ordne diese Substitutionsresultate, in welchen nur noch a erscheint. 



r Buclistabengrösse. Die höchsten von Null verschiedenen 



P- 



absteigend nach Potenzen 



Glieder dieser absteigend geordneten Substitutionsresultate: 



91 



.§,.a^',. §.',.«''% r..«""',....&,>'^« 



%,{,') 



werden zu einer Gleichuna^ : 



9t 



^,a''- + a;\f)'.« 



%'. 



X- 





+ 



Q^'P 



l • . .p 



^ 



a 



rnAP) 







verbunden, die x' als Unbekannte enthält und dem ^'"' Grade angeliört, und nun wendet man 

 auf diese das bekannte Verfahren zur Bestimmung- der Anfangsglicdcr an. Die gewonnenen 

 Anfangso-lieder von a;' sind die gesuchten Folgeglieder Ji,.^,a^>-+i. Jedes derselben bildet den 

 Ausgangspunkt für eine eigene weitere Entwickelung von genau derselben Art. 



Es ist nun leicht, sich ein klares Bild von dem Gange der absteigenden Entwickelung- 

 von X zu entwerfen. Man beginnt mit der Bestimmung des Anfane-syliedes. In de 



&"& 



r Eegel findet 



man mehrere verschiedene Anfangsglieder, deren jedes einer einzigen Auflösung zukommt. 

 Man erkennt dies daran, dass die zur Bestimmung von h, dienenden Gleichuno-en Q^ar k 



ö 



eine 

 gleiclien Wurzeln besitzen. Findet dieser gewöhnlicliste Fall wirklich Statt, ^so ist mit der 

 Bestimmung der Anfangsglieder zugleich die Trennung aller Wurzeln erfolgt, und die weitere 

 Entwickelung besteht nur in der Annäherung zu einer dieser Wurzeln. Jedes Anfangsglied 

 kann als Ausgangspunkt einer solchen Approximation benützt werden, und man wird durch ein 

 regelmässig wiederkehrendes Verfahren die zugeliörigcn Folgeglieder entwickeln. Diese gehen 

 alle aus Gleichungen des ersten Grades, also durch Divisionen hervor. 



einfacl 



ist die Entwickelung der Folgeglieder, wenn mit der Bestimmuno- der 



Anfangsglieder noch nicht alle AVurzeln isolirt erscheinen. Man erkennt dies daran, dass der 



Cocfficicnt h 







eines Anfangsgliedes 



eme wiederholte Wurzel der zu seiner Bestimmuno- 



dienenden Gleichung darstellt. Ist h, eine mfache Wurzel derselben, so besitzen m Auflösungen 

 dieses Anfangsglied gemeinschaftlich, und h.a^o bildet den Ausgangspunkt einer complicirteren 



Entwickelung. Zur Bestimmung des FolgcgliedesÄ/^-^i hat man eine Gleichung des m^^" Grades, 

 nämlich die: 



l»o« 



91 







x' .^'o «'''» -h 



.V 



,2 



// 



2 



^"0 0^^ 



91 



' / 







+ 



X'^^ 



1 - . . TO 



.f)o(»' a'V"" 







zu bilden und die Anfangsgliedcr von x zu ermitteln. Findet man m von einander verschiedene 

 Anfangsglieder h,a?i, so sind die Wurzeln vollkommen isolirt. Jedes derselben wird dann den 

 Ausgangspunkt bilden einer eigenen Entwickelung, die nur zu einer einzigen Wurzel führt 

 und in einer Beihe von Divisionen besteht. Es kann aber h, auch als wiederholte Wurzel auf- 



