iuflosungsraetliode flir algebraische Buclistethengleicliungen etc 



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treten und dann stimmen mehrere Auflösungen x in den zwei ersten Entwickelungsgliedern 

 y^^^^fo -LJi^a^i überein. Die Anzald j^ der gleiclien Wurzeln k^ ist zugleich die Anzalil dieser 

 ilbereinstimmcnden Auflösungen x. Das dritte. Entwickelungsglicd Äoö^- erhalt man dann aus 



(uner Gleichung des jj**^" Grades: 





^'9 



I' 



i 



a 



% ■ ' 



+ 



X'P 



3 



1 



) 



^Z"' a- 



%(/') 







durch Bestimmung der Anfangsglicdcr. Dieser Schritt kann eine vollständige oder thcilweise 

 Trennmig der p noch niclit isolirtcn Wurzehi herbeiführen oder sie noch ungetrennt lassen. In 

 dieser Weise schreitet die Entwickclung vorwärts. Besitzt die Gleichung P = keine gleichen 



Wurzeln, so erfolgt die Tremumg derselben immer bei hinlänglich weit fortgesetzter Entwicke- 

 lun<^* und von da an vereinfacht sich die Aveitere Entwickelung, indem sie sich auf wiederholte 

 Division zurückführen lässt. Nur dann, wenn P= zwei oder mehrere gleiclie Wurzchi besitzt, 

 wii'd die Trennung derselben niemals erfolgen. 



Man sieht aus dieser Darstellung, dass die absteigende Entwickolung grosse Ähnlichkeit 

 1)esitzt mit den bekannten Approximationsmethoden für Zaldenglcichungen. Die eigentliche 

 Scliwierigkcit ist auch hier imr, die Trennung der Wurzeln zu bewerkstelligen. Hat man die- 



selbe erreicht, so ist die fernere Entwickelung mit keinen anderen SchAvierigkeiten mehr ver- 

 knüpft. Die Wurzel ist nämlich dann so bestimmt, Avie jene einer Gleichung des ersten Grades, 

 mit dem einzigen unterschiede, dass man zu ihrer Entwickelung eine in der Eegel unendliche 

 xinzahl von solchen CJeichungen des ersten Grades aufzulösen hat. Die Entwickelung lässt sich 

 meistentheils ins Unendliche fortsetzen, und ein Abbrechen der Iteihe bei einem gewissen 

 Gliede gehurt nur zu den Ausnahmen. So lange nämlich das der Gliedersumme x^, entsprechende 

 Substitutionsresultat, Avelches aus dem Gleichuno'spolvnomc P hervorgeht, von Null verschieden 



ausfällt, ergibt sich, wie dargethan wurde, stets ein von Null versclnedenes Folgeglied h,._^iec^^'+^ 

 und nur dann, Avenn irgend eines dieser Substitutionsresultate vollkommen verschAAundet, ist 

 der BcAveis hergestellt, dass die entsprechende Gliedersumme x^ schon der complcte Wcrth 

 von X ist, und dass die nachfolgenden EntAAuckelungsglieder alle gleich Null ausfallen. Das 

 gänzliclie VerscliAvindon eines Substitutionsresultates gehört aber immer nur zu den selteneren 

 Fällen und hänixt von dem zufällia-en Erfülltsein a-c\Ausser Relationen ab. Es ist dies im Grunde 



nur ein analoges Verhalten, avic bei den bekannten Vorgängen der DiAusion und des Wurzel- 

 auszichcns, wobei man auch meistentheils die Rechnung ins Unendliche fortsetzen kann, Aveil 



•eAA^öhnlich lauter von Null verschiedene Reste erhält, und ein Abbrechen der Entwicke- 

 lung gehört nur zu den Ausnahmen. Diese Analogie war im Voraus zu erwarten, Aveil diese 

 bekannten Vorgänge der Division und des Wurzelausziehens die specicUe AuAvendung der hier 

 auseinander gesetzten allgemeinen EntAvickclungsmethode auf Gleichungen des ersten und 



m an g 



binomische liöheren Grades vorstellen. 



§. 13. 



I 



Nachdem nun die Auflösungsmethode, um die Wurzcbi einer Buchstabengleichung 

 absteigend zu entwickeln, festgestellt ist, liaben Avir noch den rein praktischen Theil der Rech- 

 nung einer Bctrachtu]ig zu unterAverfen. Die aufgestellte Regel schreibt nämlicli vor, nach der 

 Bestimmung ehies EntAvickelungsglicdes die ganze bereits gefundene Gliedersumme in das 

 Gleichungspolynom und vielleicht auch in einige derivirte Functionen anstatt der Unbekannten 



*, 



K<J^X1^ 



