^x^ >■ ^.m-, ^ _ v^ _ _ ___-_■_ 



f ^. 



Auflösungsviethodefür algehraisclie BiichstaJjengleiclnmgeji etc. 



177 



X 



10.a + l)x--' + ( + 40.a^— 8.a);rM-(-80.«^+23.rt'+l)x= + (80.a'— 28.«-"'— «-— 4a4-l)x + 



+ (— 32.a'^-f 12.a* + 2.a' + 4.a 



o 



2.a 



0. 



Die Bestimmung der Anfangsgliedcr 



für die absteigende Entwickeliingsform liefert den 



einzigen AVerth 



^0 



1 



mit der Bestimmmiö'sa'leichuno': 



ö-o 



fo 



'>: 



lOli ' 



Ü 



40//;'— 80//./ 



80 /i 



ü' 



32 







welche einen einzigen Werth : 



l 



/ 



K 



9 



aber als fünffache Wurzel liefert. Das Anfaiagsglied ist somit ein einziges : + 2a und ist allen 

 fünf Wurzeln x gemeinschaftlich. Man hat hier zur Bestimmung der Folgeglieder nach der 

 allo-emeinen Regel von §. 12 vorzugehen, d. h. man muss x— -2a in das Gleichungspolynum 



^ . dP dr-P d-^P d^P d^P 



P und seine fünf nach x genommenen Difi'erentialc[Uotienten — - ^ -— , -^ , -^ , -^ 



substituiren , aus den dabei gewonnenen 



Substitutionsresultaten ^J , ^J'', %% W'j W, * 







die Gleichung des fünften Grades in x, bilden: 



1 



ri /■ 



Ü. 



-Pu * 



/5 



4. 



v^r^''*+^^ 



3.' 







'" x'^ + 



~ ^o" :r'^ + i; W ^' + $p„ 







und die Anfangsglieder von x nach der bekannten Regel bestimmen. Man gelangt zu den 

 Substitutionsresultaten auf die bekannte AVeise und findet namentlieli : 



«PJ'--- + 120, ^1^'' 







24, ^0 



fff 



0, % 



ff 



2 «-' + 2, W 



«^+1, f 



Ü 



0. 



Da hier ^^ versch windet, so folgt hieraus, dass x^^'la der complete Werth einer Wurzel 

 sei, allein nur einer einzigen, weil $'o ^'on IS^ull verschieden ist. Die übrigen vier Wurzeln 

 müssen erst weiter entwickelt werden. Zur Bestimmung der nächsten Folgegliedcr dient die 



Gleichung: . 



x 



X 



O'X 



*> f 



a X 



0. 



vSic liefert vier von einander und von Null verschiedene Anfangsgliedcr: 



a 



.^( 



1 



1 





a 



? 



1 



I 



a 



3 



? 



1 



und somit ist die vollständige Trennung aller Wurzeln erfolgt. Die weitere Entwickelung erfor- 

 dert nur die Auflösung von Gleichungen des ersten Grades und wird in bekannter Weise 

 weitergefidu't. 



\ 







-V 



^*. 



J 



.15. 



Die absteio-ende EntAvickelung von x wnrde bisher in ihrer einfachsten Gestalt gezeigt, und 

 immer ein Glied nach dem anderen, jedes durcli ein eigenes und regelmässig wiederkehrendes 

 Verfahren aufo-efunden. Dieses regelmässige AVicderhoIen der Substitution nach einem jeden 

 einzelnen Folgegliede ist aber nur beim Beginne der Entwickelung unumgäjiglich nothwendig; 

 hat man eine grössere Anzahl von Gliedern bereits entwickelt, so kann man aus einem einzigen 

 Substitutionsresultate nicht blos das nächstfolgende Glied^ sondern eine grössere Anzahl der- 

 selben auf einmal finden. Die Anzahl der durch einen einzigen Schritt zu gewinnenden Glieder 



Denkschriften der mathcm.-naturw. CK XU. Bd. Abhandl. v. Nicbtiiiitgl. , X 



