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iiJiiiiut in cmcni raschen Verlialtiilsse zu, wenn schon o-cntio-cnd Ariele PhitAvickelnno'Sii-lieder 

 bekannt sind. Das Verfahrejij welclics Statteines einzigen Folgegliedes deren mehrere auf Ein- 

 mal liefert, ist nicJit sehr diffcrent von dem früheren. Bekanntlich Iiat man zur Bestimmung 

 des Folgegiiedes A,._{_ia^''+i ifn gewolnilichen Falle, wo die Treninnig der AVuj'zel bewerkstelligt 

 ist, die ^:i'e^Yonnene Gliedersunmic x^ anstatt x in das Gleicliuno-spolvnom P zu substituiren und 

 das liöcliste Glied des dabei erlialtenen Substitutionsrcsultates ^,. durcli das höchste Glied des 



hervorgehenden Substitutionsresultates ^',, zu dividircn, und das Zeichen des erhal- 



aus 



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tenen Qaoticnte]i in das entgegengesetzte zu verwandeln. Es beruht dcnniach die Bestimmung 

 des Folgegliedes Ä,._^ia^''+^ eigentlich in der EntAvickelung des ersten Gliedes des Quotienten: 



'.. Hat man schon eine genü<>'ende Anzahl von Gliedern entwickelt, mit andern AVorten, 



ist r hinrani'']ich axoss, so kann man die Entwickelunir dieses Quotienten über das erste Glied 



fortsetzen und nach Umständen eine mehr oder minder grosse Anzalil von Gliedern aus diesem 

 einzigen Substitutionsresultate gewinnen, die alle der AVurzcl x zukommen. Auf solche Weise 

 ist man im Stande, zur bekannten Gliedersumme x^ eiiui andere .-r' hinzuzufügen, die aus s 

 Gliedern besteht, und erhält so durch eine einzige Substitution und genügend weit fortgesetzte 

 l)ivisi<)n die Wurzel x in r^s Gliedern, wozu sonst s aufeinanderfolgende Substitutionen 



r 



erforderlich gewesen Avären. Die Anzahl s der durch einen einzigen solchen Schritt zu gewin- 



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neiiden Glieder steht nu't der Anzahl r der früher bekaiurten im Zusammenliaui'-e und Aväclist 



O 



mit r in einem rascJien Verhältnisse. Es ist dies ein ähnliches Verhalten, wie bei dem Approxi- 

 mationsverfahren für numeris'che Gleichungen: Ist man mit deui Gn^cnzwerthe der A\'urzel 

 hinlänglich nahe gerückt, so kann man durch eine einzige ])ivision nicht blos eine einzige, 

 sondern eine mehr oder mhider bedeutende Anzald von verlässlichen Stellen gewinnen. Die dabei 

 stattfindende Gesetzmässigkeit wurde zuerst von Fourier gründlich untersucht. Die Ergebnisse 

 dieser Untersuchungen sind im zweiten Buche seines unvollständig- erschienenen Werkes: 



„Analyse des cciuations dctermlnees" niedergelegt. Die darauf abzielenden Regeln shid dorfc 

 zunächst nur für numerische Gleichungen entwickelt, allein sie besitzen eine allgemeine Geltung, 

 auch für Buchstabengleichungen. Wir Avollon nun das Stattfinden der aufgestellten Bchauptun- 

 gen erweisem 



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AVir bezeichnen im Folgenden mit ^,., «]ß/, ^3/' . . . die Substitutionsrcsultate, welche für 



dV d'-P 



x:=zx^ aus den Polynomen 1\ ~- , -- , . . , hervorgehe]! und mit »^,.a^^'' , '&';.^^^^''* , ^^^'V '^^^"'' ? ■ • • 

 ihre liöchstcn von Null verschiedenen Glieder. Fügt man nun zur Giliedcrsumme x^ 

 nächstes Enfcwickekum-sglied ^,.1]«^'+^ oder eine Summe von mehreren solchen: 



ein 



X' 



h^.^^a^'-+^- -L Ä,..^, «,--+2 -|- . . . . 



Ä,+,af'-+« 



hinzu, so erhält man ::^',._|_j un 



d x„. 



^.^, und die diesen Gliedersummen entsprechenden Substitutions- 

 rcsultate und höchsten Glieder derselben tragen als Unterscheidungszeichen den Index r-j-1 

 und r -^ 



6' statt r. 



In der Regel kann man annelunen, dass die Wurzeln x der Gleichung 7^ = verschieden 



dp . (ZV' 



sind, sowohl von jenen der — = 0, als auch der -;-;::^0. Findet diese Annahme wirklich Statt. 



^ dx 



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SO wird eine Wurzel x der Gleichung r:=i) entweder sclion im Anfangsgjlede der abstei- 



dl' d^'P 



genden EntAvickelinigsform von jener der — - :i^ und der ~ -zizzO verschieden ausfallen, oder 



Avenigstens in einem späteren Entwickelungsgliede. Es geht daher aus dieser Annahme her- 

 vor, dass bei fortgesetzter EntAvickelung von cc, also beim Wachsen dei" Gliederzald ^'+1, die 



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