Auflo-sungsmj/tltorlc für algehrai-'iclif' BurJistabcnrjlxuchanfjen eic. 



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Eeduetion auf XuU, welche im Substitutloiisresultatc % anfangs nur die liöclisten Glieder, 

 später aber der lieihe nach die nächst niedrigeren befällt und in der angegebenen liichtun<>* 

 nna.rd'Iialtsam fortsclireitet, je mehr Eiitwickelungsglieder zusammengefasst werden, bei den 

 beiden anderen Substitutionsresultaten ^' und %" nicht ins Unbegrenzte fortschreiten könne. 

 Eine Eeduction der höchsten Glieder auf Xull kaini in ^' und ^" nur dann erfolgen, Avenn 



das Anfano'so'lied Än*^^" zufälliü'crwcise auch einer AVni'zel der — 

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zukommt. 



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dalier gleiehwold dieser seltene Fall stattfinden sollte, so wird dennoch bei fortgesetzter 



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Entwickelung von x, sobald man zum unterscheidenden Entwlckelungsgbede aidangt, dieses 

 Verschwinden der höchsten Glieder in ^' und %" iltr Ende erreichen. Ein unbegrenztes Fort- 

 sc]u*eiten dieser Reductionen auf Xull in den lifichsten Gliedern von ^' oder '^' würde aber 

 darauf In'uAveiscn, dass die der Entwickelung unterworfene Wurzel x nicht nur der P=z{) 

 sondern auch der P ^=:0 oder der P"^0 Geniige leistet. Ein solcher seltener Fall wnrd 

 aber stets zu einer bedeutenden Vereinfachung fülu'cn, denn man kann durch Sondorung des 

 gemeinschaftlichen Factors, der in zweie^i dieser dreiPolynome erscheintj und durch Xulisetzen 

 <lessclben die in Entwickelung begriffene AVurzel aus einer viel einfacher gebauten Gleichung 

 irewiniien, bei der dieser Ausnalnnsfall nicht mein- stattfindet. Hat aber bei ir^-end einem Ent- 

 Avickebnm-si^'liede die lieductlon auf Xull in den höchsten Gliedern vun ^' und '^" i\iv Ende 

 erreicht, so wird bei dem Hinzufugen neuer Entwickelnngsglieder in den Anfangsgliedern 

 «g)'(r'' und .%>" a^^" keine Änderung mehr vor sicli gehe]i, weil die neu hinzugefügten Glieder 

 säunntllcli von niederer Oi'dmnig sind. Wenn also die in Entwickelung stellende Wurzel o; 



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noch der 



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ü Genfige leistet, so nimmt zwar 51,. mit dem AVacliscn von/ 



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in's Unbegrenzte ab, aber 5(/ und 5(/' erreiclien früher oder später einen Constanten Werth. 

 Wir wollen dieselben beziehungsweise mit 3t/ und %,'/ andeuten, w^omit zugleich gesagt sein 

 soll, dass mit dem Entwickelungsgliede 'h^,a''p die Ileduction in ^/ und mit dem anderen \a^^i 

 jene in ^'' ihr Ende erreicht hat. Alle jene 31/ und 3(/', deren Index r sowohl j> als q über- 

 steigt, besitzen die Werthe 3(/ und 21/'. 



Ist man zu einem constanten Werthe von 3(,' gelangt, so dient dies bekanntermassen als 



Kem'izeichen "dass die vollständige Isolirung der in Entwickelung stehenden Wurzel .r von allen 

 anderen, welche nocli ausser dem der Gleichung i'=0 zukommen, erfolgt sei, und man erhält 

 die iibri"'cn Fob'-cdieder durch Aviedcrholte Divisionen. Ist näiidich >'^p, so findet man das 

 auf X,. folo-ende Glied /^._^ia^'"+^ durch Entwickelung des höclisten Gliedes vom Quotienten 



^ ^Vir wollen nun aber voraussetzen, r sei nocli liberdies grösser oder mindestens gleich 



(j. Ist man in der Entwickelung so weit gelangt, so braucht man sich nicht mehr mit einem 

 einzio-en weiteren Entwickelungsuliede zu begnügen, sondern kann die Division von — -^ 



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auf melircre Glieder fortsetzen; sie sind alle brauchbare Entwickelmigsglieder. 



Um die Wahrheit des Gesagten darzuthun, Avcrden Avir zeigen, dass dann die einzelnen 



der Ecihe nach identisch sind mit den 



\nfam>-so-lieder des entwickelten Quotienten 



'^s, 



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ersten Gliedern der Quotienten: 



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Wr+^ 



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%-^-l 



¥'.+2 



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SO zwar, da,ss es dem Erfolge nach einerlei ist, ob man die Summe von Folgegliedern 



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