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Es ergibt sic]i daraus folg'CiHlc cinfaclic Regel: Ist man bei dei' absteigenden 

 EntAvickelung einer AVurzcl x zu einer Glieder summe x^ gelangt, für Avelclio 

 s o Av lil im S üb s ti t u ti n s r e s u It atc $', als an cla im *$" eine Ee d u e t i o n der 

 höchsten Glieder auf Kull niclit mehr erfolgt, und die Gradzahlen 21' und 

 2(" daher eonstante Wertlie 21'^ und 51'^ erlangt haben; sokannman mehrere 

 Entwieke lungsgliede r von x auf E in mal erhalten, indem man die Division 



Yon — —-auf mehrere Glieder fortsetzt. Zur genauen Angabe der Grenze^ 



v/ie weit diese Division fortg^csetzt werden darf, dient der ZahlAverth von: 



5t;' — % -f 2 c,.+, = 2 91, — 3 %; + %:; 



und alle EntAvickelungsglieder des Quotienten — --^, deren Exponenten c über 

 di ese ni G rcnzAverthe licgcnj sin d A^erlasslieh. Man hat daher d ie EntAvick elung 

 des Q uotienten ^4 f o r tzusetzen auss eh licssli eh bis zu j ene w\ Gliede, d essen 



Runter 221, — 321'^ +k% fallt. 



Wir Avollcn nun noch versuchen, ein klares Bild davon zu entwerfen, in Avelcheiu raschen 

 Verhältnisse die Anzahl s der vcrlasslichen Glieder mit dem Wachsen von ;• zunimmt. Aus den 

 Ilelationen (48) lässt sich unmittelbar die folgeiide andere ableitcji: 



r 



und aus dieser folgt: 



Da die Relationen (48) für jedes r gelten, das der grösseren der beiden Zahlen j) utuI q^ 

 gleichkommt oder dieselbe übersteigt, so Avird auch diese Relation für solche r gelten. Man 

 sieht hieraus unmittelbar, wie schon von friilier her bekannt ist, dass man immer mindestens 

 Ein Glied entAvickeln dürfe. Ist man aber in der Entwickebing weiter fortgerückt, so Avird nicht 

 nur Cr+n sondern auch eine Reihe darauffolgender Expojicnten c,.^o , f,._^;. , . . . Zr^r-^ grösser 



w 



ausfallen, als 21/' — 21/ + 2 c.+i ■ Wir wollen es an einem Beispiele zeigen: Gesetzt f.+i = 

 und 9t; — 2i;' = 1, so folgt: 2(,/ — 2t^' + 2?,^^ = — 1. Man darf also die Entwickelnng von 

 — . ^ fortsetzen bis exclusivc zu einem Gliede mit dem Exponenten — 1 oder ehiem klehieren. 

 Wären die | sämmtlich ganze Zahlen, so könnte man nur eui einziges Glied, nämlich das 

 ^,+3 ^^^^'--^^ = ^^r+i erhalten. Der iiächste Schritt besteht hi der EntAA^iekelung des Quotienten 

 — ^tL . Für diesen Fall ist also der Grenzwerth %'' — 2L' + 2 c,+o = — 3 ; man Avu-d also schon 



zAvei Glieder: A,+2a^^-+2 + /^,+3a^'■+3 = /^,._^^(r' + li.^.ur^- gCAvinnen. Der nächste Schritt liefert 

 schon deren vier 'auf einmal; der GrenzAvcrth 21./ — 21/ + 2 1,+^ = — 7 zeigt nämlich, an, 



dass man die DiAnsion von — ^f±^bis zur Potenz ^^"^ inclusiA^e fortsetzen dürfe: u. s. w. 



■P ^-H-^ ... . . ■ 



Im folgenden Scliema sind die bei jedem Schritte gewinnbaren Gliedern ersichtlich: 

 0) x, 



2) ..... . Ä„+., rr' + /i,+, «-' 



f 



!■ 



^: 





f 



X 



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, -^M^ rfc->^^ up. 



_^^ - ^ 



