Aivflosu nq -SVK' Ü lüde für algehraisclie BüclistuhLuijlelcltangi'U etc. 



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I 



w 



Man sieht an diesem Beispiele, dass bei fortg-esetzter EntAvickoluiig- mit jedem Schritte 

 die Anzahl der auf einmal gewinnharen Glieder in einem raschen Verljähnisse steigt. Die hier 

 erwiesene Gesetzmässigkeit ist genau dieselbcj Avie jene für die Zunahme der verlasslicheu 

 Decimalstellen bei numerischen Gleicliungen. Wir werden auch in einer nachfolgenden Ab- 

 handlung Gelegenheit finden, diese Gesetzmässigkeit aus den vou Fonrier erörterten Eigen- 

 schaften der linearen Approximation abzuleiten. 



Eine ähnliche Eigenthümlicldccit lässt sich auch für jeneFäne nachweisen, wo zur Bestim- 



Xb 



mung 



der Fola'eadicdcr die Auflösuni'' von Gleichuni''en des zAveitcn oder nocli hölicrer 



ö"'ö 



Grade erfordert werden; aucli in diesen Fällen kann man aus einer Partialgleielumg höheren 

 Grades bisweilen mehrere Glieder auf Einmal gewinnen, und es gelten hier die von Fourier 

 für die Approximationsmethoden der zAveiten, dritten und höheren Ordnung aufgestellten 

 Sätze. Wir übergehen aber ihre Auseinandersetzung, weil sie uns von unserem Ziele zu weit 

 abziehen würde und weil man iiinuer im Stande ist, auf die lineare Approximationsmethode 

 überzugehen, die, wenn sie auch einen geringeren Grad von Convergenz besitzt, als die übrigen, 

 denn doch unter allen bei weitem die einfachsten ßechnungcn mit sich führt. 



Wi 



ir wollen nocli schliesslicli die Anwendung der eben entwickelten Eegel an einem Bei- 

 spiele zeigen. ITiezu eignet sich ganz gut die bereits fnüher im §. 1-i sub (45) aufgestellte 

 Gleichuno- deren Wurzebi Glied für Glied entwickelt wurden. Fassen wir also dieselbe 



I 



und zwar die mit dem 



Anfano'sgliede a: 



Ü 



a 



" beginnende Wurzel in's Au^'C. Die diesem 



Anfangsgliede entsprechenden Substitutionsrcsultate sind sub (IG) aufgeführt und zugleicli zeigt 



der Gang der Rechnung, 



dass weder in ^ 



/ 



u 



noch ^"o eine Beduction der höchsten 



Glieder 



auf Null erfolgt sei, dass demnach das Anfangsglied a^ weder einer Wurzel der Gleichung 



dF 



noch der 



d-p 



=z entspreche. Di 



c Grundbedingung für die Anwendbarkeit der 



d.v dy- ^ 



eben früher auseinandergesetzten Eegel hst dcnniach hier erfüllt. Man hat namentlich 2(o = 19, 

 5r.. = 17, 3r..= U, und demnach: 2 5(, — 3 5r„ + 2(",= +1. Der Quotient: ~ kann 



p 



tf 



; 



7 



T / 



$0 



sonach bis exclusive dem mit der ersten Potenz von a versehenen Gliedc fortgesetzt werden. 

 Dies liefert ehi einzelnes Folo'oo-lie<l : '■ — 3 a" und sonach die Wurzel in ihren zwei ersten Ent- 



O^Ö 



wickelungsglicdcrn: x 



a 





4- genau so, Avie in §.14. Bisher ist keine Verschiedenheit 



von dem früheren Verfahren bemerkbar. Allein bei dem nächsten Schritte tritt sie bereits auf. 

 Die deniAVurzelbestandtheilc x\ 

 ersichtlich. Es ist hier 31^ = 



O Ü 



ssti 



35i' 



/■ 



51 



// 



-^3 die 



entsprechenden Substitutionsresultate sind sub (47 

 17, während 51',. und 5f'„ ihre früheren Wcfthe behalten, und öonach 



~ fortii'csetzt werden 



Grenze bis zu Avelclier die Division: 



^^ 



W 



darf. Man wird daher ^^ und ^\ in ihren drei erstell Gliedern nehmen: 



"^ 



1 



1 



8 a 



17 



110^^^''+ 589 r/ 



15 



, %\ = 



2 a'' 



25a^' + 110a 



ly 



mid mm den Quotienten: 





S.rt^T u 1 lo.ttH^ — 5S0.ai^' 



•2.^1 



^J.flJ^ i- 110. a^^ 



i 



1 



m so \ 



'lelen Anfana'.'^diedern entwickeln, bis man zu dem mit a ^ udei- mit einer noch nicdri- 



dort bricht man die Division ab. 



geren Potenz von a versehenen Gliede gelangen Avürdc: 



Man findet solchero-cstalt: 



^iM 



^ f 



^^i 



- ..— 1 



- 4 -|~ o f^ 



^ 



4 



