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Ignaz Heger. 



und folglich: 



X 



a 



3 



■ 6 a 



4 



5 ir' 



Dieser Wertli stimmt mit dem in §. 14 gefundenen vollkommen übercin , und ist liier zufällig 

 die vollständige Wurzel. Diese letzte Operation lieferte also schon mein- als ein einziges Glied 

 und zwar deren zwei oder, wenn man Avill, deren drei. 



Dieses Beispiel dürfte voUkonnnen liinreiclien, um von dem Nutzen der erwähnten Regel 

 ein deutliches Bild zu geben. Auffälliger noch wird dies aber bei den -späteren Entwickelungs- 

 gliedern. 



r 



Entwlckelun^c Jer Wurzeln einer Gleichung in eine nach aufs t elgcnd cn Potenzen von 



a — a o>e ordnete Reihe. 



16. 



0, welche 

 - a in eine 



Hier findet sich das rroblcm behandelt, die AVurzeln x einer Gleichung: P 

 zwei Buchstabengrösssen x und a cntliält, nach aufsteigenden Potenzen von a 

 Reihe zu entwickeln. Wir setzen hier gleichfalls P als ein Polynom, und die Glieder dieses 

 Polynoms von der Form IJa''x' voraus, x bedeutet die unbekannte und abhängige, a die unab- 

 häno-io-eBuchstabengrösse, a aber einen beliebigen aber bestimmten Zahlwerth. Die Functions- 

 fornfdie wir hier wählen, ist gleichfalls eine selir gebräucliHche, da eine jede Function sich 

 in dieser Form geben lässt. In dieser Gestalt sucht man vermittelst der bekannten Operationen 

 des Dividirens und des AVurzelausziehens die Auflösungen der Gleichungen des ersten 

 und der binomischen höheren Grades und es wäre demnach schon durch diesen Umstand 

 dieses Problem gerechtfertigt, wenn man gleichwolil keinen anderen Grund hiezu auffinden 

 könnte als den, dass es wünschenswerth sei, für beliebig gestaltete hiihere Gleichungen ein zu 

 diesem Z^vccke dienendes Verfahren zu besitzen, gleichsam als eine Verallgemeinerung der 

 zum Dividiren und AVurzelziehen dienenden Regeln. Allein so wie die absteigende Entwicke- 

 luno- der Wurzeln einen hölieren Zweck erreicht, nämlich den, das Verhalten für sehr grosse 

 AVertbe von a anzugeben, und mit der Asymptotenbestimmung für ebene Curven, die in-iBereiche 



a 



oo 



ö 



Wir 



endlich alle Wurzelgrössen erfahren, die in der Genüge leistenden Function x erscbeinen ; 

 in die Spraclie der Geometrie übersetzt: wir werden die Asymptoten im Bereiche der end- 

 lichen Werthe der Abscisse, sowie auch andere eigenthümliche Punkte der ebenen Curve 



r 



kennen lernen. 



Wir suclien also x in folgender Form: 



54 



X 



li^{a 



df' + K (^ — ^)^' -f T^-A^ — ^, 



«Ta 



/ 



i^\a 



a 



AVO Co. ^M ^-i^ 



w « 





dann A., h,, k,, Ä, bestimmte, bislicr noch unbekannte Zahlwerth e 



•) 



bedeuten, raber eine in der Regel unendlich grosse Zahl voj'stellt, und nur selten einen endliclicn 

 AVerth besitzt. Diese Reihe muss nämlich in der Regel als eine unendliche Reihe voraus- 

 gesetzt werden, denn nur in Form einer unendlichen Reihe sind die Functionen allgemein 

 darstellbar, und nur durch eine unendlich grosse Anzahl von Gliedern Avird man das Gleichungs- 



r". 

 r 



\- 



^hO^r^ü 



