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Auflosungsmetlioch flu' algeljrciisclie Buclistahenglelcltangen ttc. 



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polynom auf Null bringen, oder besser gesagt diesem Nulhvertlie beliebig weit nälieni können. 

 Zwisclien den hier ersclieinenden Exponenten wird folgende Eelation vorausgesetzt: 



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oo) 



?o 





c.< 



ft * 



Cr 



Nur durch diese Eelation unterscheidet sich unser gegenwärtiges Problem von dem vor- 

 hergehenden; in allem übrigen herrscht die grösste Ähnlichkeit. In der That ver\Yandeln wir 

 auch hier, so wie dort, die Natur der Aufgabe; denn es handelt sich jetzt nicht mehr um die 

 Angabe einer Function von a, die, anstatt x gesetzt, F identisch in Null verwandelt, sondern 



nur um die Bestimmung der Zalihverthe der mit Co? ^d ^^^d /^ü, ^i, .... bezeichneten 



Grössen. An die Stelle der Buchstabenglcichung ist somit ein System von Zahlengleichungen 

 getreten. Der Gang der Untersuchungen wird die grösste Übereinstimmung mit den früher 

 eina-oleitcten beobachten und wir werden uns desshalb kürzer fassen können, weil wir nur jene 

 Verschiedenlieiten und Abweichunx^-en von dem früher Gesagten umständlicher zu besprochen 



brauchen 



j 



welche durch die nun entgegengesetzt angenommene 



Eelation zwischen den 



Exponenten f herbeigeführt werden. Wir werden auch die nach aufsteigenden Potenzen geord- 

 nete Entwickelung von x nicht für a — a, sondern nur für a zeigen, ohne desshalb unsere 

 Untersuchungen nur auf den specicllen Fall a-=Q zu beschränken; es ist vielmehr leicht 

 ersichtlich, wie diese fiü' a gelteiide Entwickelungsmethode auch auf beliebige andere Grössen 



a 



a 



a 



a 



ausgedehnt werden könne, Aveil durch die 



einfache Substitution : a 



a 



a 



7 



also 



a das Polynom Pin ein anderes verAvandelt werden kann, welches statt der Buchstaben- 

 grössen x und a, die anderen x und a enthält. Entwickelt man nun x aufsteigend nach a, so hat 

 man offenbar die verlangte Entwickelungsweise von x aufsteigend nach a — a. Bei einer 



iV. 



solclieii Substitution ändert wolil allerdings das Gleicliungspolynom F seine Gestalt, weil 

 es jetzt, statt eine Summe von Gliedern IIa' x' darzustellen, vielmehr Glieder von der folgenden 

 anderen Form: Il\a^a)'x' besitzt, und nur, wenn alle Exponenten a in den verscliiedene,] 



Gliedern ganze und positive Zablwertlie besitzen, wird (a + «)" entwickelt ein geschlossenes 

 Polynom sein, und demnach das neue Glcichuugspolynom in seiner entwickelten Gestalt 

 gleichfalls eine Summe einer endlichen Anzahl von Gliedern von der früheren Form l/a^o;' 

 darstellen; für alle jene Fälle aber, wo ein einziges im Polynome Perscheinendes a negativ oder 

 gebrochen ausfällt, lässt sich diese entwickelte Form (a + «)" nicht anwenden, sondern man muss 

 es bei dieser unentwickelten Form bewenden lassen. Dies soll jedoch keineswegs ein Ilindcrniss 

 abgeben, weil auch für solche Gleicliungen diese Methode mit Erfolg angewendet werden kann; 

 ja sie besitzt auch dann noch ihre Wirksamkeit, wenn im Gleichungspolynome Wurzelgrössen 

 erscheinen, welche unt»r den Wurzelzeichen eine Summe von Ghcdern IIa''x' besitzen. AA^r 

 erwähnen -diese verschiedenen Fälle, aufweiche sich die AVirksamkeit der folgenden Methode 

 ausdehnt, keineswegs in der xibsicht, sie in dieser verallgemeinerten Gestalt zu geben ; sondern 

 im Gegentheile, um sie jetzt nur für den einfachsten Fall vorführen zu kömien, ohne dadurch 

 bei dem Leser die Meinung hervorzurufen, diese Beschränkung sei eine nothwendige , in der 

 Natur der Methode begründete. AA'ir werden also zunächst eine Gleicliung P = mit Gliedern 

 von der Form Ila'x' vornehmen, und uns die Aufgabe stellen, x nach aufsteigenden Potenzen 

 von a zu entwickeln. Wenn wir das hiezu dienliche Verfahren werden abgeleitet haben, wird es 

 leicht sein, zu zeigen, wie sie sicli auch zur Entwickelung der AA^'urzeln x in eine Picihe nach auf- 

 Steigenden Potenzen einer anderen Grösse von der Form a — a modiiiciren lasse; ja wir würden 

 dann auch jene Gleichungen in das Gebiet unserer Betrachtungen ziehen können, die kein 



Donkschriftcn der mathoin.-naturw. GL XII. JJd- Abhandh von NichtmitKl- 



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