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Ignaz IIege7\ 



Gleichungspolynom mit Gliedern Ila^'x' mehr enthalten, sondern avo Wurzelgrössen erscheinen, 

 die unter den AVurzelzeichen eine Summe von solchen Gliedern Ilaf'x^ besitzen. 



Das Problem, welches wir uns stellen, ist folgendes: Es ist eine Gleichung P = gegeben, 

 deren erster Theil eine Summe von Gliedern von der Form Ila'x' ist: man soll die Genüge 

 leistenden Functionen x in eine Reihe entwickeln, geordnet nach aufsteigenden Potenzen von a. 

 Wir setzen hier x in der Form A^oraus : 



/ 



56 



X 



Äy a^^" 



Äi a^' 



li^ cf^' 



und es sollen nun die Werthe von Co, 6i , ?■>• c^ann von Ä«, h, h, .... angegeben Averden. 



^Avischen dem Exponenten f AAdrd die Pelation: 



6 



*0 





« « « 



sind geAvissen Bedhigungeii entsprechend 



vorausgesetzt. Die Werthe Co? Ci, •■■■• ^u? ^u •■'•• 

 zu Avählcn. 



Diese Bedingungen Averden wir durch die unmittelbare Substitution der für x angenommenen 

 Ileihc (56) in das Gleichungspolynom P ableiten. Bei dieser Substitution verAvandclt sich das 

 Gleichungspolynom V in einen gleichfalls aufsteigend nach a geordneten xVusdruck, der dem 

 Ausspruche der Gleichung P=:0 zufolge identisch Null sein soll. Man liat denmach diese mit 

 f und h bezeichneten Grössen so zu Avählenj dass jede einzelne Potenz von a in dem Substi- 

 tutionsresultate mit dem Cocfficienten Null versehen erscheint, und AA^rd auf solche Weise eine 

 genügende Anzahl von Bedingungen erhalten, um diese noch unbestimmt gelassenen Grössen 

 C und li der einzelnen Glieder der Entwickeiung ihren Zahhverthen nach zweckentsprechend zu 

 bestimmen. Wir Avissen andererseits, dass alle bekannten Functionen von a sich nach aufsteigen- 

 den Potenzen von a mittelst der Taylor'schenPeihe entAvickeln lassen, Avcnn dieselben und alle 

 ihre Differentialquotienten für a stätig und endlich bleiben, und Averden daher unter diesen 

 Bedingungen gleichfalls die Wurzel x in Form einer solchen Peihe: 



(57) 



X 



Iiq -f liy a + ^h <^^^ + 



erhalten. Eine Ausnahme hievon findet Statt, Avenn die Wurzel x oder einer ihrer Differential- 

 Quotienten -~, -^^•••- für a unendlich oder unst'ätig AAdrd , Avenn z. B. x den Nenner a 



da ' d(ß ' ,. — 



besitzt oder aber in sich die AVurzclgrösse \ a schliesst , denn dann Avürde an die Stelle dieser 



Reihe mit den ganzen und positiven AVcrthen ^^ ^-= Ci 



1-, c, 



2, eine andere zu treten 



haben, die negative oder gebrochene c aufweist. Wir sehen also in dieser aufsteigenden Ent- 

 AvickelungSAveise von x zugleich ein IMittel, die in x erscheinenden Factoren, DiAasoren und 

 Wurzelgrössen a zu erkennen. AVir legen hier aber keincsAvegs die Form (57) unseren ßech- 

 nuno^en zu Grunde, da sie gelegentlich, für die erAvähnten Ausnahmsfälle nicht geeignet ist, 

 X darzustellen, sondern benützen die allgemeinere, stets giltige Form (5G) mit noch unbestimmt 

 gelassenenExponciiten f. Die nun folgenden Untersuchungen, Avelche, Avie schon erwähnt AA^urde, 

 mit den bei der absteigenden EntAvickelungsweise von x eingeleiteten die grösste übei^cinstim- 

 mung zeigen, zerfallen gleichfalls in zwei Abtheilungen: Die erste hat die Bestimmung des 

 Anfangsgliedes li^a^\ die zAveito die der Folgeglieder zum Gegenstande. Auch hier erAveist sich 

 eine Abtlieilung der Untersuchungen in zAvei Theile als eine natürliche, denn die Bestimmung 

 des AnfauL^s^'-licdes Ka^^^ bcAvirkt hier gleichfalls in der Eegel die Trennung der Wurzeln, so 



zAvar dass durch dasselbe jede einzelne Wurzel vollkommen genau bezeichnet, und von allen 

 übri^^en völlig isolirt erscheint. Die Bestimmung der Folgeglieder bezieht sich daher in der 



h 



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