Auflosungsmethode für algehraisclie BucJisfxtbengleicJmngen etc. 



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Eegel auch nur auf eine einzige solcLe isolirte Wurzel , und stellt die weitere Approxima- 



tion vor. 



I, Bestimmung der Anfangsglieder. 



17. 



"Wir substituiren in das Gleicliungspolynoni F anstatt x eine aufsteigend geordnete Reilie 

 (56), deren Anfangsglied A^a^o ist Der Gang einer solchen Substitution wurde bereits genau 

 beleuchtet. Hier wo statt x eine aufsteigend geordnete Reihe gesetzt wird, tritt die einzige 

 Verschiedenlieit gegen früher auf, dass die Substitutionsresultate gleichfalls aufsteigend nach 

 a geordnet erscheinen werden. Diese Substitution lässt sicli hier bei noch unbestimmt gelassenen 

 Werthen des Exponenten ^^ nur in den einzelnen Gliedern Ila^x^ ausführen^ wenn man sich 

 mit dem Anfangsgliede begnügt. Jedes einzelne Glied Ila^x^ liefert nämlich einen Ausdruck, 

 der nach aufsteigenden Potenzen von a geordnet ist und dessen erstes, mit der niedrigsten 

 Potenz Yon a versehenes Glied die Form: Illi^a^'^^^^ besitzt. Summirt man alle diese ver- 

 schiedenen, für die einzelnen Glieder des Gleichungspolynoms abgeleiteten Ausdrücke, so 

 entsteht das vollständige Substitutionsresultat ^. Das Anfangsglied desselben kann nur aus 

 einer Gruppe von Gliedern entstehen, die die Form TIli^ a^^^^^ besitzen und deren jedes 

 einem gewissen Gliede des Gleichungspolynoms P entspricht. Man hat nämlich die Grad- 



zahlen , welche die Fox*m a+xc 



besitzen, in Verglcichung zu bringen, und unter ihnen 



die kleinste zu erwählen. Das mit dieser kleinsten Gradzahl a -f xco versehene Glied ITIiQa^+^^^ 

 ist zugleich das Anfangsgiied des Substitutionsresultatcs ^. Dieses Aufsuchen der kleinsten 



w^enn f^ einen bestimmten Zahlwerth besitzt. 



Gradzahl a 



X Cü kann nur geschehen , 



\llein hier handelt es sich um eine andere Untersuchung. 



X 



gleichung der Gradzahlen a 



Der Erfolg einer solchen Ver- 

 ;i' f o; kann verschieden ausfallen, je nach dem dem ^^ ertheilten 

 Zahlwerthe ; es sind namentlich, zwei Fälle möglich : entweder findet sich unter der Gruppe dieser 

 Gradzahlen a -[- X* Co eine einzige, mit dem kleinsten Werthe verschone, während alle übrigen 

 öTÖssere Werthe besitzen: oder der kleinste Werth kommt zAveien oder mehreren derselben 

 gemeinschaftlich zu. Diejenigen Werthe von ^^^ welche den zuerst erwähnten Fall herbeiführen, 

 bewirken, dass ein einziges Glied Ila^'x^' dos Gleichungspolynoms einen mit der niedrigsten 

 Potenz von a beginnenden Ausdruck liefert, w^älu'cnd die aus allen übrigen Gliedern hervorge- 

 henden x\usdrücke nur höhere Potenzen von a enthalten. Lei derSummirung dieser Ausdrücke 

 wird dieses mit der niedrigsten Potenz von a versehene Glied daher vereinzelt stehen, sich 

 mit keinem anderen verbinden lassen und zugleich das erste Glied des Substitutionsresultates 

 ^ darstellen. Für solche Werthe von Cu ist folglich das erste Glied des Substitutionsresultates 

 von der Form : 



* 



58 



Uli,' a'+'''' 



5 



sein 



Coefficient II ItJ ein eintheiliger 







Ausd 



1 ■ u c 



\ 



; 



weil es aus einem einzigen Gliede des 



Gleichungspolynoms liorvorgeht, und stets voii Null vei^schieden, so lange dem li^ ein von Null 

 verschiedener Wertli ertheilt Avird. Diese sind daher keine geeigneten Zahlwerthe für 1^^, weil 

 sie ein Nulhverden des Cocfficicnten im ersten Gliede des Substitutionsresultates unmöglich 



y 



