Auflosungsineflwde für algebraische Buclistabengleichungen etc. 



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besitzt gleiclifalis nur auswärts springende Ecken, und die gebrocliene Begrenzungslinie des- 

 selben ist daber in demselben Sinne naeb aufwärts zu convex, wie die bei der absteigenden 

 Entwickelung von x betrachtete concav war. Die einzelnen Stücke dieser gebroclienen Linie 



folgen daber in der Eicbtung von | 



oo nach Co 



oo in aufsteigender Eeibenfolge 

 nacb der Grösse von x'? also auch nacb der Grösse des mit der positiven Ilalbaxe des f^ einge- 

 scblossenen Winkels geordnet, so zwar, dass das am meisten reclits gelegene Anfangsstück 

 derjenigen Geraden angehört, welche mit der Abscissenaxe den kleinsten Winkel einschliesst, 

 dem also die mit dem kleinsten x versehene lineare Function a + xlo entspricht. Auf dieses 

 Anfangsstüek folgen die übrigen Stücke in derjeingen Weise geordnet, wie es der Werth von 



erscheint. Pas nach links 



Xl 



X vorschreibt, der in den entsprechenden linearen Functionen a 



zu befindliche Endstück ist der mit dem grössten x versehenen linearen Function 



a 



xS 







angehörig. Von dieser Anordnungsweise kann man sich in dem schon einmal benützten Bei- 



spiele : 



(69) 



(a '-h 1 ) x^ + ^^ + {d 



l)x' 



a 



2 a)x -f ä 



a 







dessen System von Linien in Fig^. 1 dargestellt ist; überzeugen. Der von diesem Systeme von 

 Linien begrenzte, unterhalb gelegene Theil der Ebene besitzt die gebrochene Linie iDCb als 

 Begrenzungslinie. iD ist das am meisten nach rechts gelegene Stück desselben, an dieses reiht 

 sicli das Stück D(7, und hieran wieder das Stück Gb] die ihnen entsprechenden x besitzen die 

 Wcrthe: 0, 2, 4 und erweisen sich daher, wie früher bemerkt wurde, aufsteigend nach ihrer 

 (.Trosse geordnet. Hier sind die Eckpunkte G und D von Belang, sie liefern die zwei Werthe 

 f^,r:=0 und Cu=-T7 woraus wir scLliessen, dass die Genüge leistenden Werthe x, nach aufsteigen- 

 den Potenzen von a entwickelt, mit einem Gliedc beginnen, welches entweder die Form h^ oder 

 die andere Ä^ai besitzt. Für jeden dieser AVerthe von Co besteht eine eigene Bestimmungs- 

 gleichung, welche die zugehörigen Wertlie des Coefficicnten h^ liefert. Diese leitet sich für 



ö 



e 







ab aus denjenigen Gliedern des Gleichiuigspolynomes, welche durch die im Punkte G 



1 



sieh schneidenden Linien bezeichnet werden. Sie sind: 



X 



und liefern die GleiclumG; 



5 



X 



3 



X' 



60) 



¥ + ¥ 



W 



0. 



Diese Gleicliung liefert zuerst h:=^() entsprechend dem darin erscheinenden Factor Ä~ und 



dann noch die Wurzeln (l(Sr quadratischen Glcichiuig: 



die die Werthe : 



¥ + h 



1 =0 



h 







1 



/' 



1 + V 5 



liefert. Wir gelangten so zu dem Resultate, dass zwei Auflösu^igen x aufsteigend nach a ent 

 wickelt die Anfan;:^-Siiiieder: 



x 







1 



1 



V5) 



x 



(1 



] ,- 



2 



1 



Vb 



besitzen, während noch zwei andere bestehen, die mit einer 



höheren Potenz von a als a 







beginnen. Diese zwei anderen Auflösungen sind durch den in der P>estinunungsglcichung (GO) 



