Aufl'öisungsmetliode für algehraische Buüliötabengleicliungen etc 



193 



5^ 



fti 



J-lC , Tj 



«2 + 12? , >/ 



a. 



^3? , 



^ J> 



« b 



. 7 



i 



'^//i X ^ fti ^ 



^ 





einzuleiten sei. 



Man könnte hier in den Ungleichungen die Zeichen beider Theile in die entgegen- 



gesetzten und das Unglcichheitszeichen 



in > verwandeln und würde so ein äquivalentes 

 System A^on Ungleichungen erhalten, dessen Bchandlungsweise sclion im ersten Abschnitte §. 6 

 durch eine Eegcl festgestellt ist; allein ebenso leicht ist es, die Eegel dem vorliegenden 

 Systeme von Ungleichungen unmittelbar anzupassen. Man hat nämlich abermals ein combina- 

 torisches Verfahren einzuleiten, das mit der ersten der so geordneten Ungleichungen beginnt, 

 und zu den nächstfolgenden fortschreitet. Man subtrahirt zuvörderst die lineare Function 

 a^ + jCi c der ersten Ungleicluuig der Eeihe nach von allen übrigen : a2 + Jf:» c , a., + X-^s ? 

 ^m + ^mC, setzt jede der hervorgehenden Differenzen: 



t « d • 



a., 



a, + [x-i 



i'i 



^ 1 



a. 



■^ 



a 



X'. 



3 



r,)c 



; 



a 



a 



X. 



XA C ; ■ • • • ^„i 



a, 



(t,„ 



X, c 



für sich gleich Null, löst jede solche Gleichung nach ^ auf, und sucht nun miter allen so 



gewonnenen 



Auflösungen : 



öa"^t 



a 



3 



1 



Ö4 



a 



m 



a 



1 



X 



J 



1 



^•1 



? 



r^ 



7 



1 



m 



r. 



die kleinste Zalil (mit Rücksicht auf das Zeichen); diese ist der kleinste zulässige AVerth 



. Wir wollen ihn mit ^\ bezeichnen. Glciclizcitig notirt man nebst der ersten Ungleichung 



von c^ 



alle jene folgenden, welche diesen kleinsten AVerth 



Co 



geliefert haben, und für c 



^ 0; 



^ 



ai 



?:.eo 



in identische Gleichungen übergehen. Die letzte derselben, die Avir mit 

 7j <C a^ -\- Ta^ bezeichnen wollen, bildet nmi den Ausgangspunkt einer zweiten, der oben 

 auseinandergesetzten vollkommen ähnlichen Untersuchung und wird mit allen ihr folgenden 

 Ungleichungen combinirt den zweiten brauchbaren AVerth von c^? nändich f"o liefern, und 

 zugleich jene Ungleichungen bezeichnen, die für f =r= 



^ 0? 



Tj = 



a« + ^'a So" '"^i^'^i ^'^ identiselie 



Gleichungen verwandeln. Die letzte der so bezeichneten Ungleichung*en ist der Ausgangspunkt 

 der dritten Untersuchmig, Avelche c "0 liefert, an der aber nur die ihr nachfolgenden Ungleich un- 

 gen Thcil nehmen. Solchergestalt schreitet die Untersuchung entAveder stätig oder sprungweise 

 von der ersten Gleichung zu den nachfolgenden über. Die Anzahl der in Betracht kommenden 

 Ungleichungen nimmt mit jedem Schritte ab. Ist mau endlich dahin gelangt, dass die letzte 



; 



welche sich in eine identische 



Ungleichung y^ < a„, + ):,,, c als eine solche bezeichnet ist 



Gleichung verwandelt, so schliesst sich die Untersuchung von selbst, indem alle Gleichungen 

 erschöpft sind. 



Bezüglich der zAveekuiässigsten Art, diese Eechnung zu Papier zu bringen, gelten die- 

 selben Vorschriften, aa^o für die absteigende Entwiekelung. Sie finden sich in §. 6 ausein- 

 andergesetzt. Hier tritt, Avie sich aus dem Vorhergehenden von selbst ergibt, nur der einzige 

 Unterschied auf, dass von jeder Quotientenreihe die kleinsten statt der grössten Zahleii zn 



nehmen sind. 



PTier folgt ein Beispiel zur Erläuterung der gegebenen Eegcl : 



(a^ + a^) of 



(3 ö + 4 d 



3 



A 



a'') X -\- 2 ax 



(3 + 4a) = ^ 



Duiiksciirifteu der mathem.-naturw, Cl. XTL Dd. AbhandL v, NichtmitgL 



_rfA Zi -r. _■ ■ 



>. > -b+x^ 



