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Ignaz Heger. 



solchen Glieder durchaus höhere Potenzen von a aufweisen werden im Vergleiche zu dem 



Gliede (66), weil offenbar a + ^ c 



Ü 



I 



Ü 



fi die Grösse 21' 







6i --^- r]. 



^0 + fi hei allen 



übersteigt. Eben so ist auch klar, dass die übrigen, hier nicht aufgeführten Bestandglieder des 

 Ausdruckes (62) nur Glieder mit höheren Potenzen von a zu liefern im Stande seien. Wir 

 haben uns daher nur noch zum ersten Gliede des Ausdruckes (62), d. h. zu dem if V' a''^^'^"" 

 zu wenden, und nachdem schon die Summirung I daran vorgenommen Avurdo, noch auf jene 

 übrigen Glieder des Gleichungspolynomes P überzugehen^ die ausser dem Bereiche dieser 

 Summe 2*, hingegen im, Bereiche der Summirung© liegen, und unter ihnen das mit der 

 niedrigsten Potenz A^on a versehene, oder falls mehrere solche sich ergeben sollten, ihre 

 Summe zu bestimmen. fQ^^ a^^^ sei dieses verlangte Glied; so ist nunmehr kein Z^veifcl, dass das 

 mit der niedri^'sten Potenz von a A^erschene Glied des Substitutionsresultates nur aus den zwei 

 Gliedern : 



.% a''^ und .§; \ ci^^^^^ 



entstehen könne und zAvar je nach der Wahl des Zahhverthes A^on f^ aus einem oder aus beiden. 

 Hier liegen nun die Bedingungen für ^^ und \ klar A^or Augen, um auch diese Potenz von a 

 verschAAdnden zu lassen. Man erreiciit dies nämlich durch Erfüllen der Gleichung: 



(69) 

 also durch : 



%>qCC 



% 







|>o'/^,a^»+f- 







(70) 



==5t 



(I 



9L' 







1 



K 



^ 







W 



-§»0 ^^"^^ und S^\ ct^^'^ sind die ersten Glieder der aufsteigend geordneten Substitutionsresul- 



— herA'or^'chen. 



täte, die für x ~- x^^ aus P und 



Man sieht hieraus, dass das einzuleitende Eechnungsverfahren vollkommen übereinstimmt 

 mit jenem, Avelches bei dem absteigenden EntAAdckelungsgange angegeben Avurde. Der einzige 

 Unterschied besteht darin, dass die Substitutionsresultate aufsteigend geordnet werden. 



Wie man das erste Folgeglied \ a^' gefunden hat, eben so findet man die übrigen. 



Hat man nämlich schon eine Summe von EntwickelunG:so-liedern: 



X,.---:. 



li^a^' 4- \a^' 4^ 4- h^.a 



e. 



erhalten, so kann man noch eines hinzufügen: \_^-^ a^'+\ mit noch unbestimmt gelassenen /?^._^i 

 und ^r+i-) ™'^^ anstatt x den Ausdruck x^, -{- \j^^a^'"^'^ in das Gleichungspolynom substituiren, 

 das Substitutionsresultat ordnen und hierauf die Bedingungen für \_j^^ und f^._^i ableiten, damit 

 eine Aveitere Ecduction auf Null erfolge. Bei dieser Substitution verAvandelt sich das Gleichun^s- 

 polynom P in einen \,j^^ a^''+^ und a enthaltenden Ausdruck A^on der Form: 



(71) 



P=.S [IIa,' x/] + Ä,.+, a^*^+i 8 [x IIa' x;~'] + 



H[ier bedeuten 8\n a"" xj'~\ und /S fr //a" 2^/"^] die für x -= x^ aus P und — hcrvorge- 



dx 



henden Substitutionsresultatc und sind dalier a enthaltende Ausdrücke, die aufsteigend nach 

 Potenzen dieser Grösse geordnet sind. In S[IIa^xJ^^ findet eine Beduction auf Null in einer 



