Aufl'ösung.smefliode für algebraische Bachstahenglelclntngcn etc. 



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i. 



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Ecilie der niedrigsten Potenzen Statt und das erste von Null versclnedene Glied desselben, 

 Avelches wir mit ^.^,cr^'' bezeichnen wollen, wird dalier durch wirkliche Substitution ermittelt 

 werden müssen. Im zweiten Bcstandtheile erscheint S [}: II a^ xj^~'^'\ als Factor von Ä,._^i a^''+^. 

 Das mit der niedrigsten Potenz von a versehene Glied derselben ist offenbar 



if"- 



i[xnhr'\a'" 



Cr» 



%,^a 



%' 



Die übrigen mit höheren Potenzen von Ä,,_^i a'''+^ versehenen Bestandtheiie, die in (71) 

 nicht ausdrücklich aufgeführt sind, können hier aus jeder weiteren T3erücksichtigung gelassen 

 werden, so lange, wie hier vorausgesetzt wurde, I\y,IIl}J~^\ einen von Null verschiedenen 

 Werth besitzt, weil sie s'ämmtlich nur Glieder mit höheren Potenzen von a beherbergen. Es geht 



f, erfüllt bleibt, das 



daraus hervor, dass für jode Wahl von \,j^^ und c,.+n ^^ lange nur c,._^i 



erste, mit der nierliigsten Potenz von a versehene Glied des Substitutionsresultates P nur aus 



den beiden Gliedern: 



^,.a^^'-und§;V,,a^io'^c.+i 



hervorgehen könne. Hier sind gleichfalls die für Ä,,,_^i und ^^..j.^ zu Eecht bestehenden Bedin- 

 2:uno-en unmittelbar ersichtlich: Man hat nämlich die Gleichumr: 



(72) 



4\«'f^ + ^W/w>«^fo' + ^'"+' 







5 

 i 



ZU erfüllen, d. \\. 



73) 



e.-,. = 51 



%^ und Ä, , 1 



ö 



«»o' 



zu wählen. Es findet sich die früher gemachte Behauptung bestätigt, dass das hier geltende 

 Verfixhrcn in iiichts von jenem verschieden sei, das bei der absteigenden Roihcnentwickelung 

 in analogen Fällen zur Bestimmung der Folgcglioder diente, als eben, nur in der verkehrten 

 Orduungsweise der Substitutionsrcsultate. 



y 



20. 







w 



Wenden wir nun noch unsere Aufmerksamkeit jenen anderen, seltener zutreffenden Fällen 

 zu, wo die a^ewonnenen Anfanp-sp-lieder der Entwickeluno- als wiederholte AVurzeln höherer 



Gleichungen erscheinen, und überzeugen wir uns auch in diesen Ausnahmsfällcn von der 

 vollkommenen tlbereinstinnnimg des Ecclmungsverfahrcns bei der auf- und absteigenden Ent- 

 Wickelung. Setzen wir also voraus, die Bestimmung der Anfangsgliedcr von x hätte zu einem 

 bestimmten solchen Xq ^= h^ a^' geführt, und der Coefficient h^^ in demselben sei eine m-mal 

 wdederlioltc Wurzel der BcstimmunD'sadeichuna- : 



ö^^ö 



74) 



2^ [II K'] 







Es bestehen dann die identischen Gleichungen 



75) 



[7TK] = 



[x II h 



r— 1 



U 



] 







i[x{x-r)iihr'] 







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