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Ignaz nege7\ 



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tuir e d as gefundene Anfangsglied Ä^a^'' anstatt er in das Gl eicliungsp o lynom und 

 in seine m ersten derivirten Functionen, ordne diese Substitutionsres altate 

 aufsteigend nach Potenzen von a und bilde nun aus den ersten ^M)n Null ver- 



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scliiedenen Gliedern derselben, die wir mit: 



A 



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|>; aV , .§;VA" , .^o("-')a5t„("-i),,^^w«2loW 



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bezeiclmet haben, die folgende Gleichung nach x' des m-ten Grades 



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•§0 «^« + -Öo' «"'«' X' 



^:'aS'x" 



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1 (m — 1) 



|).("-')a5to(™-i)-;;t;.'»-i 



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\ . . .m 



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und wende darauf das bekannte Verfahren an, welches die Anfangsglieder 



von x' in der aufsteigenden Entwickelungsform liefert; dieselben sind die 

 g esuchten Werthe von Ti^ a^K 



Man bemerkt hier allsogleich die vollkommene Übereinstimmung dieses Verfahrens mit 

 jenem, welches bei der absteigenden Entwickelung von x angegeben wurde. 



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§• 21. 



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Es bleibt uns jetzt nur noch ein einziger Fall zu erörtern, nämlich die Bestimmung eines 

 späteren Folgegliedcs Ä,.^i a^''+\ wenn die Summe aller vorhergehenden Entwickclungsglieder, 



nämlich : 



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 ^ 

 .^ 



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"X 



bekannt ist, und die in denselben erscheinenden Cocfficicnten li^^ h^^ \, \ wiederholte 



Wurzeln ihrer Bestimmungsglcichungen darstellen. Es ist dies der allgemeinste Fall von allen 

 und wir werden auch in diesem die vollkommenste Übercinstinnnung zwischen dem auf- und 

 absteigenden EntAvickelungsvorgange nachiveisen. 



Wir wollen annehmen, dass die Coöfficienten /^q, ä^, ä^, li^. als wiederholte Wurzeln 



nicht nur ihren Bestimmungsgleichungen, sondern aucli den daraus durch Differentiationen 

 abgeleiteten Gleichungen Genüge leisten, und namentlich der letzte derselben li,. eine p-fache 

 Wurzel darstelle. Wir Averden nun anstatt x den Ausdruck: 



in das Gleichungspolynom P substituiren, wobei wir die Werthe von A,._^i und ^,._,_i noch ganz 

 unbestimmt lassen. Das auf diesem Wege hervorgehende Substitutionsresultat wird daher die 

 Grösse?^ a und x' in sich schliessen, und, so lange die in x erscheinenden Grössen li und ? 

 unbestimmt bleiben, nur jene Bcductionen zulassen, die zufolge der zweckmässigen Wahl von 



$0, ^11 ^2 7 ^r-) ^^0- ^^n ^h-) ' '^r cintrcten. Schreitet iiian nun zur Bestimmung des mit der 



niedrigsten Potenz von a versehenen Gliedes derselben, so bleibt seine Form so lange unbc- 

 stimmt, als über c,._^-l nicht in einer bestimmten Weise verfügt wird. 

 Beschränkt man die Werthe von c. 



^ , durch die Ivclation : c 



c,., eine Beschränkung 

 die uncriässlich ist, wenn x ein wolilgeordncter Ausdruck sein soll, so ergibt sicli nur eine 



'i. 

 i 



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1 





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ij 



^1— ^b- X L^^i^Jl^ Fix 



