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' Auflösung-smcthnde für algehralsclie Ihicltdalcnglelcliungeit etc. 



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(89) 



hr^ 1 1 



L 1 ... 2 



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A t 



1 {q^s) 



- <§),f^+-^^] a^-+i. 



Eine Reduetion desselben auf Null lässt sich demnacli durch eine zweckmässige Wahl des 

 bisher noch unbestimmt gelassenen Cocfficienten /^,+, herbeifüiircn, gebunden an das Erfüilt- 

 sein der Bedingungsgleichung: 



(90) 



1 . . . 5 



^ 



i^l) 



4 K 



^ -f 



1 ....((/ + s) 



l),. 



(?+») 







I 



^ 

 ^ 



4^. 



1 



Diese Gleichung ist ganz und rational und lässt demnach ausser den NuIIwerthen noci 

 mindestens einen einzigen, in der Ecgel aber s verschiedene AA^ertlie von \^, zu. 



Zu einem jeden Grenzwerthe ^^^^ ergibt sich eine entsprechende Gleichung, die nach 

 Weo-schaffen der NulUvurzeln von einem gewissen Grade s ist, entsprechend dem Unterschiede 

 (^ _° i-) — ^ der Cocfficienten von ?,+, in den zugehörigen beiden äusscrsten h'nearen Func- 

 tionen. Die Summe aller verschiedenen s, welche den einzelnen Grenzwerthen angehören, ist 



L 



demnach, wde leicht ersichtlich, gleich P- 



Die Gesammtzahl der auf solche Weise hervorgehenden Folgeglieder K^,a^'+' ist folglich 

 in der Ecgel p, und eine Yerminderung ihrer Anzalil kann nur durch das Auftreten gleicher 

 Wurzeln erfolgen, welche dann wieder den Keim für mehrere Folgeglieder h,.+, a''+'' in sich 



sehliessen. 



Wir haben also im Grunde nur noch zu beweisen, dass das System (86) wirklich nur 



lauter über f„ liegende Grcnzwertlie liefern könne. Dies ist der Zweck der nachfolgenden 



Untersuchungen. ■ ' 



Wir werden nämlich nun das nächstfolgende Glied It,^, «^'■+- auf dieselbe Weise besthn- 



und finden, dass wenn li,.^, eine ^-faehe AVurzel der Gleichung (90) ist, zu der Glieder- 



1 



7 



men, - 



summe x ^, das nächstfolgende wirklich durch eine Gleichung vom Grade t gegeben sei. 



Man wird also in der Regel t verschiedene Folgcglieder /i,+, a 



''■"•"" oder wieder glcir^he 



Wurzelwcrthe für A,.+, erhalten, die aus demselben Grunde zu mehreren verscliiedcnen oder 

 gleichen Ä,.+3 «^'■+^ Veranlassung geben u. s. w. , so dass eine ^mal wiederholte Wurzel K^, 

 jedenfalls bei fortgesetzter Entwickeluug entweder zu t verschiedenen Auflösungen fährt, oder 

 die Bestimmungsgleicliungen für die Cocfficienten fortan bei höherem Grade erhält, was dann 

 als ein Beweis anzusehen ist, dass die entwickelten Glieder nicht nur die P = 0, sondern 

 auch eine oder mehrere der derivirten Gleichungen erfüllen, mit anderen AVorten, dass die 



i r 



betreffende Auflosung als doppelte, 

 li ab e . 



drei- oder mebrfaehe Wurzel der P 



zu gelten 



Stellen wir \ 



ms unter A, , , jetzt einen bestimmten Zahlwerth vor, gezogen aus der Gleiclmng 



(90) und, um den allgemeinsten Fall zu berücksichtigen, wollen wir annehmen, 

 eine /-mal wiederholte Wurzel, so dass die Gleichungen bestehen: 



( 



lerselbe sei 



(91 



l . • ■ q 



V.,.[q—\) 



TT.. ($-2) 



+ • ■ 



^ ^ ^ ^ 1 — ■ _, \J 



+ ■ 



+ 



+ 



1 . . . (7 + S— i) 



1 . . . (^ + S 



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aa*- 



